正則について。

質問

以下にしめす関数の正則性について、コーシー・リーマンの方程式を用いて調べなさい。また、正則であれば導関数も求めなさい。

f(z)=Ze^z

で、z=x+viに対して、e^z=u+vi,e^z=e^x*e^y
　　　　　　　　　　　　　　　　=e^x(cosy+isiny)
とすると、
u=e^x*cosy,v=e^x*siny
とこんな感じで解いているのですが、どこでコーシーリーマンの定理を使うかもわかりません。どなたかご指導お願いします！ｍ（＿　＿）ｍ

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> f(z)=z*e^zなんですよ.

あ，そうでしたか．
それなら
(2)　　f(z) = (x+iy){e^x cos(y) + i e^x sin(y)}
　　　　　　= u(x,y) ＋iv(x,y)
(3)　　u(x,y) = x e^x cos(y) - y e^x sin(y)
(4)　　v(x,y) = x e^x sin(y) + y e^x cos(y)
と書いて(質問文の u,v とはもちろん違います)，
No.1 の(1)を求めればいいでしょう．

なお，正則関数同士の和，差，積，はやはり正則関数になることが
知られています．
商も分母がゼロになるところを除いて正則関数です．
したがって，z と e^z が全平面で正則であることを知っているなら，
z e^z も全平面で正則であることがわかります．
問題の出題意図とははずれているかも知れませんが．

ミスタイプなどあるかも知れませんので，チェックもよろしく．

お礼

またまた、ありがとうございます。正則である事は証明できました。
しかし、導関数の導き方で悪戦苦闘しています。よろしければヒントをください。

回答No.4

grothendieck

da-loveさん、こんにちは。siegmund先生の解答が標準的なものであり十分と思いますが、私はへそ曲がりなので変わった方法を紹介します。
　z* = x-iy
をzとは独立な変数と思うことにします。xとyの任意の複素関数はzとz*で書くことが出来ます。
　x=(z+z*)/2
　y=(z-z*)/(2i)
より、
　∂f/∂z* = (∂f/∂x)(∂x/∂z*)+(∂f/∂y)(∂y/∂z*)
　=(1/2)((∂f/∂x) + i(∂f/∂y))
　=(1/2)((∂u/∂x)-(∂v/∂y)+i((∂v/∂x)+(∂u/∂y)))
なのでコーシー・リーマンの方程式は∂f/∂z* =0と同値です。ze^zはz*を含まないので、コーシー・リーマンの方程式を満たしていることは明らかです。さらに一階導関数∂f/∂z*と
　∂f/∂z = (z+1)exp(z)
がともに連続なので、正則として良いでしょう。ここで不思議なのは、zとz*は共役な複素数なのに独立とみなすということです。変分法でも共役な関数を独立とみなすというのが出てきます。ad-bc≠0として
　x'=ax+by
　y'=cx+dy
で定義されるx', y'が独立であるというのはy'を変化させないでx'だけを変化させることができる(またはその逆)からでしょう。これをzとz*にあてはめると、xとyも複素数でなければならないことになります。それはともかく、∂f/∂z* =0が形式的にコーシー・リーマンの方程式と同値である以上、zのみの関数で一階連続微分可能なものはすべてコーシー・リーマンの方程式を満たし、正則であることになります。
　う～ん、本当にそうか？例えば無限回微分可能だがべき級数展開はできない
　f(x) = 0 (x≧1 のとき)
　f(x) = 1/exp(-1/(1-x^2)) (x<1 のとき)
でxをzに置き換えるとどうなるか？と考えると分からなくなってきました(回答になっていなくてごめんなさい)。

回答No.3

siegmund

正則であることがわかったのですから，あとは実関数の微分と同じことで
(z e^z)' = e^z + z e^z
ですが...

回答No.1

siegmund

ミスタイプがあるようですが
> f(z)=e^z
>
> で、z=x+yiに対して、e^z=u+vi,e^z=e^x*e^(iy)
> 　　　　　　　　　　　　　　　　=e^x(cosy+isiny)
> とすると、
> u=e^x*cosy,v=e^x*siny
でしょうか？

u,v が x,y の関数として書けたのですから，普通に
(1)　　∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂u/∂y, ∂v/∂x
を計算して
コーシー・リーマン方程式が成り立っているかどうか調べるだけでしょう．

なお，コーシー・リーマン方程式が成り立っているのは正則であるための必要条件です．
これに(1)の４つの偏微分の連続性が加われば正則であるための必要十分条件になります．

お礼

すいません。ミスタイプあったみたいです。けど一行目はf(z)=z*e^zなんですよ。この場合どうすればいいんでしょうか？