f(z)=|z|^2はz=0では正則ではないことを示せ。
- f'(0)を計算すると、z=0で微分可能であることがわかる。しかし、z≠0のときf(z)はコーシー・リーマンの方程式を満たさないため、z=0では正則ではない。
- f(z)={√(x^2+y^2)}^2を実部uと虚部vに分けて考えると、u_x ≠ v_yおよびv_x ≠ u_yとなるため、正則ではない。
- 以上の結果から、f(z)=|z|^2はz=0では正則ではないことが示される。
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f(z)=|z|^2はz=0では正則ではないことを示せ。
f(z)=|z|^2はz=0では正則ではないことを示せ。 解答 f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z = lim[z->0] z~ となり、z=0で微分可能。 z=0で正則とは0のある近傍で正則ということであるが、 z≠0のときf(z)=x^2+y^2はコーシー・リーマンの方程式を満たさない。 …と載っているんですが、微分可能性にはついては先ほど質問し解決しました。 今度は正則について確認です。 f(z)={√(x^2+y^2)}^2 =x^2+y^2 =u+iv で 実部uはx^2+y^2 虚部vは0 u_x = 2x ≠ v_y =0 v_x = 0 ≠ u_y = 2y これらが一致しないので正則ではない …という答えでいいですか？ 間違っていたら訂正をお願いします。
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コーシー・リーマンの条件は、 u_x = v_y, v_x = u_y ではなく、 u_x = v_y, v_x = -u_y です。 教科書など確認のこと。
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