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複素微分の存在→正則の証明
複素関数fの複素微分が存在するなら、その関数は正則であるということを証明するプロセスは複素関数論の教科書にはすべて載っていると思います。 私の本では複素微分df/dzにおいてdz=h+ikとして、k=0でh→0としたものと、h=0としてk→0としたものが一致しなければならないということから正則であることを誘導しています。複素微分による２つの特殊な例を適用したように見えるのですが、これで演繹的に証明したことになるのでしょうか。 これに関連して、正則とはコーシーリーマンの関係が成立することであり、それが正則の定義と考えていいのでしょうか。つまり正則ならコーシーリーマンの関係式が成立することを証明せよ、というようなことはないと思っていいでしょうか。 なお、正則→複素微分の存在という証明が別途出てきますが、こちらは平均値の定理とコーシーリーマンの式で演繹的に証明できたような印象なのですが。
- skmsk1941093
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- muturajcp
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https://ja.wikipedia.org/wiki/正則関数 の定義 に書いてある通り 複素関数 f(z) が点 a で複素微分可能なだけでなく、 点 a を含む適当な（どんなに小さくてもよい）近傍 U(a) でも複素微分可能である（近傍 U(a) の全ての点で複素微分可能である）とき、 複素関数 f(z) は点 a で正則であるという（1点における正則性） f(z)=|z|^2はコーシーリーマンの関係が成立しているけれども z≠0で成立しないから z≠0で微分不可能で正則ではないから 複素関数 f(z)=|z|^2 が点 0 で複素微分可能であっても、 点 0 を含むどんなに小さい近傍 U(0)であっても U(0)-{0}∋z≠0で複素微分可能でないから、 f(z)=|z|^2 は 点 0 でも正則ではないのです
- muturajcp
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https://ja.wikipedia.org/wiki/正則関数 に書いてある通り fがzの近傍Uで微分可能となるようなUが存在するとき fはzで正則というのです f(z)=|z|^2はコーシーリーマンの関係が成立しているけれども z≠0で成立しないから z≠0で微分不可能で正則ではないから fがzの近傍Dで微分可能となるようなUが存在しないから z=0でも正則ではないのです
- muturajcp
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fがzの近傍Dで微分可能となるようなUが存在するとき fはzで正則というのです f(z)=|z|^2はコーシーリーマンの関係が成立しているけれども z≠0で成立しないから z≠0で微分不可能で正則ではないから fが0の近傍Uで微分可能となるようなUが存在しないから z=0でも正則ではないのです
- muturajcp
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C=(全複素数の集合) f:C→C z∈C f(z)=|z|^2 z=x+iy,x,yは実数とすると f(x+iy)=x^2+y^2 u(x,y)=x^2+y^2 v(x,y)=0 u_x(x,y)=2x u_y(x,y)=2y v_x(x,y)=0 v_y(x,y)=0 u_x(0,0)=0=v_y(0,0) u_y(0,0)=0=-v_x(0,0) だから z=0で f(z)=|z|^2はコーシーリーマンの関係が成立しているけれども z≠0で成立しないから z=0で正則ではないのです だから 正則とは コーシーリーマンの関係が成立することではありません コーシーリーマンの関係が成立することは 正則の定義ではありません
- muturajcp
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C=(全複素数の集合) 複素関数 f:C→C z∈C に対して fがzの近傍Dで微分可能となるようなDが存在するとき fはzで正則というのです f:C→C z=x+iy∈C,x,yは実数 f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) としたとき u,vがzの近傍Dで連続な偏導関数を持ち Dでコーシーリーマンの関係式 u_x=v_y u_y=-v_x が成り立つ事と 「 fがzの近傍Dで微分可能となるようなDが存在する 」 事は確かに同値なのだけれども 正則の定義は 「 fがzの近傍Dで微分可能となるようなDが存在する 」 事なのです ある複素関数fが正則である事を証明する時は コーシーリーマンの関係式 の方を定義にした方がよいと思うかもしれないけれども 正則である事を条件とするとき 例えば f(z)が|z-a|<Rで正則とするとき f(z)=f(a)+f'(a)(z-a)+… と級数展開できる事を証明するときは |z-a|<Rで正則だから 正則の定義は fがzの近傍Dで微分可能となるようなDが存在する から |z-a|<Rで微分可能と直接いえて f'(a)が存在するといえる から 正則の定義は 「 fがzの近傍Dで微分可能となるようなDが存在する 」 の方がよいのです 複素関数論においては ある関数が正則である事を証明する場合よりも 正則関数に対して色々な事が成り立つ事を 証明する場合の方が圧倒的に多いのです だから 正則の定義は 「 fがzの近傍Dで微分可能となるようなDが存在する 」 の方がよいのです
- muturajcp
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C=(全複素数の集合) 複素関数 f:C→C z∈C に対して fがzの近傍Uで微分可能となるようなUが存在するとき fはzで正則というのです だから fがCの全点で微分可能ならば、正則の定義から fは正則なのです だから 定義であって証明すべき事でありません コーシーリーマンの関係が成立することは正則の定義ではありません fがzの近傍Uで微分可能となるようなUが存在する という正則の定義から コーシーリーマンの関係が成立することが いえるのです
お礼
回答ありがとうございます。私が見ている関数論の本は、”....ｆ関数が、いわゆるコーシーリーマン(C.R)の偏微分方程式系...を満たすときｆは正則な関数であるという” とあります（その本で初めて正則が出てくるところ）。 この言い方だと”関数ｆがC.Rである”ということがその関数ｆが正則である”と同値と読めるのですが。一方で論理展開の中で別途正則が定義されていて（近傍での微分可能性とか）その正則からC.Rが演繹されたとしたら、ある見方からすると正則とC.Rは同値という風に見えるということはアリということにはならないでしょうか。その関数論の本を見ると、正則＝C.Rであると宣言して、正則（すなわちC.R）⇔複素微分が存在する を双方向に証明しています。ご指摘の点は複素微分が存在する（正則）⇔C.Rが証明されるという流れなのでしょうか。演繹的に無条件に証明されるものが負荷されると定義がいろいろになる可能性があるということなのでしょうか。
お礼
回答ありがとうございます。 ご回答の言葉を意味を変えずに並び替えると以下のようです。 ------- f(z)=|z|^2は, z=0でコーシーリーマンの関係が成立しているけれども z≠0で成立しないからz=0で正則ではない ------ これでよろしいでしょうか。ただ、z≠0では正則かそうでないか言及されていませんが、どうなるのでしょうか。 z=0でC.Rなのでz=0で正則であり、z≠0ではC.Rが成り立たないのでz≠0で正則でない、ではないのでしょうか。 すなわち、 ------ f(z)=|z|^2は, z＝0でコーシーリーマンの関係が成立しているのでz=0では正則 z≠0でコーシーリーマンの関係は成立しないからz≠0で正則ではない ------ と考えてはだめでしょうか。そうなるとC.Rと正則がぴったり重なるのですが。