複素解析の問題

質問

e^(iz)-e^(-2iz)を微分するのですが、まず、正則関数であるかを確かめないといけませんよね。
ｚ=x+iyとしてみて代入したりいろいろやってみたのですが、なんだかよく分かりません。
また、コーシーリーマンの式をどう適用すればいいのか分からないのですが誰かわかる方よろしくお願いいたします。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

素直な問題だと思います。
ｚ=x+iyとして代入し、オイラーの公式
e^(iθ)＝cosθ-isinθを使えば簡単に、uとvに分解できると思います。ちなみに、
u＝e^(-y)cosx -e^(2y)cos2x
v＝e^(-y)sinx +e^(2y)sin2x
となるでしょうか。この後は、コーシーリーマンの式を直接適用すればよいと思います。

お礼

なるほどです。まだまだ勉強不足でかたじけない限りです。本当に助かりました。一番早い回答をくださったのでこちらを20ptの良回答にしたいと思います。ありがとうございました。また何かあったらどうぞよろしくお願いいたします。

回答No.2

mathman

f_1(z)=e^{iz}, f_2(z)=e^{-2iz}と関数を２つに分けて考えてみましょう。
f_1(z), f_2(z)が共に正則関数であれば、正則関数の線形結合も正則関数であるという事実から問題としている関数が正則関数ということがわかります。
f_1(z), f_2(z)の正則性の証明の仕方ですが、考えているとおりz=x+iyとおいて、2実変数の関数と見ます。オイラー公式「e^{x+iy}=e^{x}(cos y + i sin y)」を用いれば、それぞれの関数を実部、虚部に分けることができます。
例えば、f_1(z)=e^{iz}=e^{i(x+iy)}=e^{-y+ix}=e^{-y}(cos x + i sin x)となり、
f_1(z)の実部をu_1(x,y)=e^{-y}cos x, 虚部をv_1(x,y)=e^{-y}sin xとおきます。
あとは２つの関数u_1(x,y). v_1(x,y)をそれぞれxとyについて偏微分してあげれば、
u_1(x,y)とv_1(x,y)がコーシー・リーマンの関係式を満たすことがわかります。
f_2(z)についても同様にやってみて下さい。

お礼

詳しい回答ありがとうございます。まだまだ勉強不足でかたじけない限りです。本当に助かりました。２番目に早い回答をくださったのでこちらを10ptの良回答にしたいと思います。また何かあったらどうぞよろしくお願いいたします。