コーシーリーマンの問題について
- コーシーリーマンの式を満たす関数とは、φ=x^2-y^2,ψ=2xyのような関数のことです。
- コーシーリーマンの式を満たさない関数とは、複素関数wがzの関数で表すことができない場合のことを指します。
- 例えば、x^2+iy^2はコーシーリーマンの式を満たしません。
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コーシーリーマンの問題について
φ=x^2-y^2,ψ=2xyはコーシーリーマンの式を満たすことを示せ。 また、複素関数wがzの関数で表すことができない場合は、コーシーリーマンの式を満たさないことを示せ。 という問題なのですが、 >また、複素関数wがzの関数で表すことができない場合は、コーシーリーマンの式を満たさないことを示せ。 ここの解は、 例えば、x^2+iy^2のような関数はφ=x^2,ψ=y^2であり、 ∂φ/∂x=2x,∂ψ/∂y=2yとなり、コーシーリーマンの関係式が満たされるのはz平面内で直線y=x上だけである。 よって関数x^2+iy^2は満たさない。 このような解でいいんでしょうか? よろしくお願いします。
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>(原点のみで関係式が成り立っているとC.Rの関係式を満たしているのでしょうか?)・・・?? 原点のみでC.Rの関係式が成り立つ-->(w=f(Z)=φ(x,y)+iψ(x,y)=x^2+iy^2の例の場合に・・・)原点で微分可能である。・・・ことを示しています。 複素関数wがzの関数で表すことができない場合・・・・というのはwが(正則)関数で表せない場合と言う意味だと思います。
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- Ae610
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ANo1,2です。 何度も何度もスミマセン。 表式が間違っていました。(ANo2 5行目) ∂φ/∂y=0,∂ψ/∂y=0ではなく∂φ/∂y=0,∂ψ/∂x=0でした。 お詫びして、訂正致します。
- Ae610
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ANo1です。 スミマセン。何か途中で終わってしまいました。 w=f(Z)=φ(x,y)+iψ(x,y)=x^2+iy^2のときは ∂φ/∂x=2x,∂ψ/∂y=2y ∂φ/∂y=0,∂ψ/∂y=0 よって原点のみでC.Rの関係式が成り立つ。 C.Rの関係式を満たさないのは、例えばw=Re(z)=x (z=x+yi)
お礼
ご丁寧にどうもありがとうございます!! 原点のみで関係式が成り立っているとC.Rの関係式を満たしているのでしょうか? >C.Rの関係式を満たさないのは、例えばw=Re(z)=x (z=x+yi) とあるように解としてはw=Re(z)=x (z=x+yi)の式を求めていったほうがよろしいんでしょうか?
- Ae610
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C.Rの方程式 ∂φ/∂x=∂ψ/∂y , ∂φ/∂y=-∂ψ/∂x が示されればよい。 φ=x^2-y^2 から∂φ/∂x=2x ψ=2xyから∂ψ/∂y=2x 後の式も同様。
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