複素関数

質問

聞きたいことが２つあります。
１つ目は複素関数w=u+ivについてです。
この関数がコーシーリーマンの関係式を満たすとき、w'=a+ibもコーシーリーマンの関係式を満たすことを示したいのです。
まず、wにコーシーリーマンの関係式を適用してからラプラスの関係式を適用して
d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 =0
d^2v/dx^2 + d^2v/dy^2 =0
となります。
このあと、a=du/dx + du/dy b=dv/dx + dv/dy　と定義します。
でコーシーリーマンの関係式を使ったのですがどうにも一致しません＾＾；
aとbの定義が違うのでしょうか？

２つ目は円柱周りの流れを表す複素速度ポテンシャルについてです。
f(z)=Az+B/z=φ+iψ
f'(z)=u-iv
と定義されていて、境界条件が設定されているのですが使い方がよくわかりません。
f(z)=φ+iψで、ラプラスが成り立つことは証明済みなのですが、これをうまく使うのでしょうか？
どうぞ、よろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat

１つ目
＞aとbの定義が違うのでしょうか？
違います。
a = ∂u/∂x = ∂v/∂y
b = ∂u/∂y = -∂v/∂x
です。教科書を見直すか、微分の定義に従って計算しなおしてみてください。

２つ目は、質問が何なのかわかりませんが、
とりあえず、複素（解析）関数を流れのポテンシャルに使うと、ラプラス条件を満たすので、理想流体（圧縮・粘性を無視した流体）の連続の式を自動的に満たして都合がいいです。