この複素の問題の解き方を教えてください

質問

f(z)=e^iz+sinzが全方面で正則であることをコーシーリーマンの方程式を用いて説明せよ

よろしくお願いします

回答No.1

muturajcp

f(z)=e^{iz}+sinz
とすると
sinz=i(e^{-iz}-e^{iz})/2
f(z)=e^{iz}+i(e^{-iz}-e^{iz})/2
f(z)=e^{iz}(1-i/2)+ie^{-iz}/2
だから
z=x+iy
f(z)=u+iv
x,y,u,vは実数
とすると
f(x+iy)=e^{i(x+iy)}(1-i/2)+ie^{-i(x+iy)}/2
f(x+iy)=e^{ix-y}(1-i/2)+ie^{-ix+y}/2
f(x+iy)=e^{-y}e^{ix}(1-i/2)+i(e^y)e^{-ix}/2
f(x+iy)=e^{-y}(cosx+isinx)(1-i/2)+i(e^y)(cosx-isinx)/2
f(x+iy)=e^{-y}{(cosx)+(sinx)/2}+(e^y)(sinx)/2+i[e^{-y}{(sinx)-(cosx)/2}+(e^y)(cosx)/2]
f(x+iy)=e^{-y}(cosx)+(e^{-y}+e^y)(sinx)/2+i[e^{-y}(sinx)+(e^y-e^{-y})(cosx)/2]
f(x+iy)=u+iv
だから
u=e^{-y}cosx+(e^{-y}+e^y)(sinx)/2
v=e^{-y}(sinx)+(e^y-e^{-y})(cosx)/2
だから
uのxによる偏微分をu_x
uのyによる偏微分をu_y
vのxによる偏微分をv_x
vのyによる偏微分をv_y
とすると
u_x=-e^{-y}sinx+(e^{-y}+e^y)(cosx)/2
v_y=-e^{-y}sinx+(e^y+e^{-y})(cosx)/2
だから
u_x=v_y

u_y=-e^{-y}cosx+(-e^{-y}+e^y)(sinx)/2
v_x=e^{-y}cosx-(e^y-e^{-y})(sinx)/2
だから
u_y=-v_x
コーシーリーマンの関係式
u_x=v_y
u_y=-v_x
が成り立つから
∴f(z)は正則