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詳しい解答まで教えていただけると助かります

w=x^2+iy^2 上の式の正則性を調べ、正則ならば導関数を求めよ。という問題です。 コーシーリーマンの関係式を使って求めるのでしょうが、やり方がわかりません。ちなみに答えは正則ではないそうです。わかる方回答の方よろしくお願いします(__)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • nimo01
  • ベストアンサー率23% (6/26)
回答No.3

wの実部と虚部をそれぞれ、 Ｕ（Ｘ，Ｙ）＝Ｘ＾２ Ｖ（Ｘ，Ｙ）＝Ｙ＾２ と置きます。 Ｕｘは、ＵをＸについて微分したものと考えてください。 それでいくと、 Ｕｘ＝２Ｘ、　Ｕｙ＝０ Ｖｘ＝０、　　Ｖｙ＝２Ｙ この結果は コーシー・リーマンの方程式「Ｕｘ＝Ｖｙ、　Ｕｙ＝ーＶｘ」 を満たさないので、正則ではありません。 参考にしてください。。。

kumago1918
質問者

お礼

回答ありがとうございます。理解することができました。ありがとうございます。

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その他の回答 (3)

  • arrysthmia
  • ベストアンサー率38% (442/1154)
回答No.4

w の実部と虚部？ 試しに、x = 1-i, y = 1+i を 代入して御覧なさい。

kumago1918
質問者

お礼

回答ありがとうございます。試してみます。

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  • rnakamra
  • ベストアンサー率59% (761/1282)
回答No.2

wの実部をX,虚部をYとしますと U=x^2,V=y^2 となります。 コーシー-リーマンの関係式は ∂U/∂x=∂V/∂y ∂U/∂y=-∂V/∂x ですので、これを満たすかどうかを判定すればよい。 2番目の式は問題ないが、1番目の式は成立しないのでこの関数は正則ではありません。

kumago1918
質問者

お礼

回答ありがとうございます。とても分かりやすかったです。

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  • arrysthmia
  • ベストアンサー率38% (442/1154)
回答No.1

正則ですよ？ ∂w/∂x = 2x ∂w/∂y = 2iy です。

kumago1918
質問者

お礼

回答ありがとうございます。正則でないと解答に書いてあったのですが…

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