詳しい解答まで教えていただけると助かります

質問

w=x^2+iy^2
上の式の正則性を調べ、正則ならば導関数を求めよ。という問題です。
コーシーリーマンの関係式を使って求めるのでしょうが、やり方がわかりません。ちなみに答えは正則ではないそうです。わかる方回答の方よろしくお願いします(__)

回答No.3

nimo01 · ベストアンサー

wの実部と虚部をそれぞれ、
Ｕ（Ｘ，Ｙ）＝Ｘ＾２
Ｖ（Ｘ，Ｙ）＝Ｙ＾２
と置きます。
Ｕｘは、ＵをＸについて微分したものと考えてください。
それでいくと、
Ｕｘ＝２Ｘ、　Ｕｙ＝０
Ｖｘ＝０、　　Ｖｙ＝２Ｙ
この結果は
コーシー・リーマンの方程式「Ｕｘ＝Ｖｙ、　Ｕｙ＝ーＶｘ」
を満たさないので、正則ではありません。

参考にしてください。。。

お礼

回答ありがとうございます。理解することができました。ありがとうございます。

回答No.4

arrysthmia

w の実部と虚部？
試しに、x = 1-i, y = 1+i を
代入して御覧なさい。

お礼

回答ありがとうございます。試してみます。

回答No.2

rnakamra

wの実部をX,虚部をYとしますと
U=x^2,V=y^2
となります。
コーシー-リーマンの関係式は
∂U/∂x=∂V/∂y
∂U/∂y=-∂V/∂x
ですので、これを満たすかどうかを判定すればよい。
2番目の式は問題ないが、1番目の式は成立しないのでこの関数は正則ではありません。

お礼

回答ありがとうございます。とても分かりやすかったです。

回答No.1

arrysthmia

正則ですよ？
∂w/∂x = 2x
∂w/∂y = 2iy
です。

お礼

回答ありがとうございます。正則でないと解答に書いてあったのですが…