複素積分について

質問

複素積分についてなんですが…
∫cos(z/2)dz 積分経路Cがどんな曲線(anycurve)でもいいので0～π+2iです。
z=x+iy x=t,y=tと置いてやってるのですがうまくいきません。
わかる方教えてください!!

回答No.5

arrysthmia

これで、
正しく No.1 どおり
になりましたね。

回答No.4

info22

#2です。
A#2のケアレスミスの訂正です。
>C=C1＋C2, C1:(0,0)→(0,π), C2:(0,π+2i)
正しくは
C=C1＋C2, C1:(0,0)→(0,π), C2:(π→π+2i)
です。

失礼しました。

回答No.3

arrysthmia

No.1 を、ちゃんと読んだなら、
No.2 の書き間違いには、気がつきますね？

No.1 のやり方が普通だと思いますが、
積分路は、他に取ることもできます。

z = (π+2i)t,　0 ≦ t ≦ 1　で置換して、
cos(z/2)
= cos( (π/2)t + it )
= (cos (π/2)t)・(cos it) - (sin (π/2)t)・(sin it)
= (cos (π/2)t)・(cosh t) - (sin (π/2)t)・(i sinh t)
と
dz = (π+2i) dt
より、
∫cos(z/2)dz
= ∫{ (cos (π/2)t)(cosh t) - i (sin (π/2)t)(sinh t) }(π+2i)dt
= { π∫(cos (π/2)t)(cosh t)dt + 2∫(sin (π/2)t)(sinh t)dt }
　+i { 2∫(cos (π/2)t)(cosh t)dt - π∫(sin (π/2)t)(sinh t)dt }
と、実積分に帰着されます。

∫(sin t)(e^t)dt を部分積分で処理すれば、
∫(cos (π/2)t)(cosh t)dt と ∫(sin (π/2)t)(sinh t)dt を
計算することができますね。

回答No.2

info22

通常積分路Cを
C=C1＋C2, C1:(0,0)→(0,π), C2:(0,π+2i)
と分割するかと思います。
このとき
∫[C] cos(z/2)dz=∫[C1] cos(x/2)dx+∫[C2] cos(π/2+yi/2)idy
＝∫[0,π] cos(x/2)dx +∫[0,2] sinh(y/2)dy
となります。ここで, sinh(y/2)=(1/2){e^(y/2)-e^(-y/2)}です。

後は普通に積分できますね。

やってみて分からなければ、そこに至る計算経過の詳細を補足に書いた上で、行き詰った箇所で何が分からないかを補足質問して下さい。

回答No.1

rnakamra

>z=x+iy x=t,y=tと置いてやってるのですがうまくいきません。
この経路だけでは0からπ+2iにはたどり着きません。tにどんな実数を入れてもRe(z)=Im(z)ですのでπ+2iにはならない。

このような場合、よく使われる経路は
(1)0→πを実軸上を積分(z=t,t:0→π)
と
(2)π→π+2iを虚数軸に平行に積分(z=π+ti,t:0→2)
の二つの経路で計算します。その二つの結果を足し合わせればよい。

(1)の積分は
∫[0→π]cos(t/2)dt
(2)の積分は
∫[0→2]cos(π/2+ti/2)*idt (dz/dt=i)
です。

次のような計算をした結果と比較してみると面白いと思います。
∫[0→π+2i]cos(z/2)dz={2sin(z/2)|z=(π+2i)}-{2sin(z/2)|z=0}