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複素関数

解き方(過程)を教えてください。 関数w=1/z' (z'は共役複素数)について 円|z-3i|=1はどんな図形にうつるか? 答え・・・円|w-(3/8)i|=1/8 z=x+iy, z'=x-iy ,w=u+ivとおいて x=u/(u^2+v^2), y=v/(u^2+v^2)となり これを|z-3i|=1に代入しましたがうまく解けません。

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回答No.1

こういうのは実部虚部に分けないことです.そのままやるのです.(z'ではなくz^*と書きます) w=1/z^*,z^*=1/w ∴z=1/w^* これを|z-3i|=1に代入すると |1/w^*-3i|=1⇔(1/w+3i)(1/w^*-3i)=1 1/|w|^2+3i/w^*-3i/w+8=0 両辺に|w|^2=ww^*をかけると 1+3iw-3iw^*+8ww^*=0 w^*w-(3i/8)w^*+(3i/8)w+1/8=0 (w^*+3i/8)(w-3i/8)=-1/8+9/64=1/64 |w-3i/8|=1/8

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