複素関数の証明問題です

質問

f(z)がzの解析関数(正則関数)であるとき
(∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2)|f(z)|^2 = 4|f'(z)|^2
を証明する問題なのですが

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とおいて、左辺を計算すると、

(∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2)(u^2+2uvi-v^2)
=(∂/∂x)(∂u^2/∂x)+(∂/∂x)(∂2uvi/∂x)-(∂/∂x)(∂v^2/∂x)
+(∂/∂y)(∂u^2/∂y)+(∂/∂y)(∂2uvi/∂y)-(∂/∂y)(∂v^2/∂y)

=(∂/∂x)(2u(∂u/∂x))+(∂/∂x)(2vi(∂u/∂x))-(∂/∂x)(2v(∂v/∂x))
+(∂/∂y)(2u(∂u/∂y))+(∂/∂y)(2vi(∂u/∂y))-(∂/∂y)(2v(∂v/∂y))

コーシー・リーマンの関係式を用いて、
=2(∂u/∂x)(∂v/∂y)+2i(∂v/∂x)(∂v/∂y)+2(∂v/∂x)(∂u/∂y)
-2(∂u/∂y)(∂v/∂x)-2i(∂v/∂y)(∂v/∂x)-2(∂v/∂y)(∂u/∂x)
=0
となりました。

最後のところで
2(∂u/∂x)(∂v/∂y)+2i(∂v/∂x)(∂v/∂y)-2(∂v/∂x)(∂u/∂y)
-2(∂u/∂y)(∂v/∂x)-2i(∂v/∂y)(∂v/∂x)+2(∂v/∂y)(∂u/∂x)
となれば

4{(∂u/∂x)(∂v/∂y)-(∂v/∂x)(∂u/∂y)}
=4{(∂u/∂x)^2+(∂v/∂x)^2}
=4|f'(z)|^2
となり、証明できるのですが、途中どこが間違っているかが分かりません

長文となりましたが、分かる方よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

f(z)=u(x,y)+iv(x,y) のとき
|f(z)|^2 = u^2+2uvi-v^2
でしたっけ?

なんか途中の計算も変. ∂2uvi/∂x もきちんと計算できていなさそう.

お礼

|f(z)|^2 = u^2+v^2 でしたね…

途中のミスも分かりました。
ありがとうございました。