複素関数を積分していて困ったことがあったので質問します。

質問

複素関数を積分していて困ったことがあったので質問します。

∫dz/[(e^z+1)(z-1)^2] を一辺２Rの正方形の周り（中心が原点に存在）
で一周積し、Rを無限大にしたときこの積分値が０に（おそらく）なることを示すのですが、
z=R+ iy（z=R-iy）　のように x=R と固定した時値が0になるのは理解できるのですが、
z=x+iR(z=x-iR) と　y=iR　に固定した時0に収束することを示せません。

分母の関数を適当なもので評価するんだと思うんですが、うまくいかなくて・・・
よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

nを任意の自然数
R=2nπ
とする
D={中心原点一辺２Rの正方形領域}
∂D={±R+iy||y|≦R}∪{x±i2nπ||x|≦R}
f(z)=1/[(e^z+1)(z-1)^2]
z∈{±R+iy||y|≦R}のとき
|(e^z+1)(z-1)^2|≧R-1
|f(z)|≦1/(R-1)
z∈{x±i2nπ||x|≦R}のとき
|(e^z+1)(z-1)^2|
=|(e^{x±i2nπ}+1)(x±iR-1)|
=|(e^x+1)(x-1±iR)|
≧R>R-1
|f(z)|≦1/(R-1)
|∫_{∂D}f(z)dz|≦|∫_{∂D}dz|/(2nπ-1)
lim_{n→∞}∫_{∂D}f(z)dz=0
f(z)
は点
z=1
z=i(2k-1)π,(k=±1～±n)
で特異点をもち留数
Res(f(z),1)=-e/(e+1)^2
Res(f(z),i(2k-1)π)=1/((2k-1)π)^2
だから
∫_{∂D}f(z)dz=2πi(-e/(e+1)^2+(1/π^2)Σ_{k=-n～n}(1/(2k-1)^2))
0=lim_{n→∞}∫_{∂D}f(z)dz=2πi(-e/(e+1)^2+(1/π^2)Σ_{k=-∞～∞}(1/(2k-1)^2))

お礼

なるほど！たすかりました。ありがとうございます。

回答No.1

muturajcp

nを任意の自然数とする
R>(2n-1)π
D={中心原点一辺２Rの正方形領域}
∂D={一辺２Rの正方形の周り}
f(z)=1/[((e^z)+1)(z-1)^2]
は
点
z=1
z=i(2k-1)π,(k=0,±1～±n)
で特異点をもち留数
Res(f(z),1)=-e/(e+1)^2
Res(f(z),i(2k-1)π)=1/((2k-1)π)^2
だから
∫_{∂D}f(z)dz=2πi(-e/(e+1)^2+(1/π^2)(1+2Σ_{k=1～n}(1/(2k-1)^2)))

lim_{R→∞}∫_{∂D}f(z)dz=2πi(-e/(e+1)^2+(1/π^2)(1+2Σ_{k=1～∞}(1/(2k-1)^2)))

補足

すいません。言葉が足りませんでした。
留数定理は分かっているのですが、問題が
この積分路で積分することで値がゼロになることを示し、
それを利用して

Σ_{k=-∞～∞}(1/i[(2n+1)-1]^2))

の値を求める問題になっているため、質問のところを解く必要がありました。