複素積分について

質問

複素数cと実数ξとし、
　　　　　　f(z)=(e^(iξz))/(z-c)
という複素関数を考えます。
　lr={z=t ; -r<t<r}　、Cr+={z=re^(it) ; 0≦t≦π} 、 Cr-={z=re^(-it) ; 0≦t≦π}
として、lrとCr+を合わせた曲線をγ+、lrとCr-を合わせた曲線をγ-とします。
　ここで、
　（１）Im c≠0、|c|<rとしたとき、f(z)のγ+、γ-上の積分
　（２）Im c≠0、ξ≠0のとき、実軸上の積分、
　　　　　　　　　∫[-r,r] f(x)dx , r→∞
という問題なのですが、（１）については、
　）Im c>0のとき
　　　γ-上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ-] f(z)dz=0。
　　　また、γ+上の積分は、留数定理により、∫[γ+] f(z)dz=2πie^(iξc)。
　）Im c<0のとき
　　　γ+上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ+] f(z)dz=0。
　　　また、γ-上の積分は、留数定理により、∫[γ-] f(z)dz=2πie^(iξc)。
　となると思うのですが、これで大丈夫なのでしょうか？
また、（２）については、
　∫[γ+] f(z)dz + ∫[γ-] f(z)dz
=∫[Cr+] f(z)dz +∫[Cr-] f(z)dz+2∫[lr] f(x)dx
と考えたのですが、左辺については、Im cの符号によらず4πie^(iξc)となると思いますが、右辺については、よくわからなくなってしまいました。どのようにして、考えていけばよいのでしょうか？どなたかお力添えよろしくお願いします。
　読みにくい文章で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。

回答No.1

PRFRD

Cr- の向き付けが記述されていませんが，適当に推測してやります．

(1) はOKです．
(2) はその方針ではダメで，以下のようにやります：

Im[c] > 0, ξ > 0 のとき，
　∫[-r,r] f(z) dz + ∫[Cr+] f(z) dz = ∫[τ+] f(z) dz
であり，(1) から右辺 = 2πi exp(iξc) が分かっています，
以下，左辺第２項が r → ∞ でゼロに収束することを示すことで
　lim[r→∞] ∫[-r,r] f(z) dz = 2πi exp(iξc)
を示します．
（これ以外の Im[c], ξ の符号パターンに対しても，
　適切な積分路を取って評価する，ということをします）

z = r exp(it) と置いて Cr+ の項を評価すると
　∫[0,π] f(r exp(it)) r i exp(it) dt
になり，絶対値を取って被積分項を見ると
　|f(r exp(it)) r| = exp(-ξrsin(t)) / |exp(it) - c/r|
みたいに評価できます．よって t ≠ 0, π として極限を取ると
　|f(r exp(it)) r| → 0　(r → ∞)
となり，適当に積分と極限をひっくり返して
　∫[Cr+] f(z) dz → 0　(r → ∞)
が示され，目的の積分の評価ができたことになります．

なお，この計算では積分路を Cr+ に取ったことが重要で，
もし Cr- に取ってしまうと，積分が評価できません．
これは z = x + iy と置いたときの y → ∞ と y → -∞ の
f(z) の振る舞いの違いを見るとわかります．

お礼

遅くなりましたが、ご返答ありがとうございます。
Cr-の向き付けはtが増加する方に向きを入れるという感じです。
この場合、Cr+、Cr-によらず積分評価ができると考えておりましたが、
違うのですね。
ご丁寧な解説感謝いたします。どうもありがとうございます。