複素積分の問題について。

質問

複素積分の問題を解いてみたのですが、手元に答えがないうえに合っているか自信がないので、チェックしていただけると助かります。解法に誤りがあったらどうぞ指摘してください。自分の中では、留数の求め方が怪しいです。

以下、積分の経路Cは原点中心半径8の円で正の向きとします。

(1)∫ 1/sin(z) dz

(2)∫ 1/(1-cos(z)) dz

(3)∫ (1+z)/(1-e^z) dz

(4)∫ tan(z) dz

(1)∫ 1/sin(z) dz

f(z)=1/sin(z) について、f(z) は z=mπ で特異点をとり、特にCの内部では z=0,±π,±2π が特異点となる。
ここで各点における留数を求めると、
Res(0)=1
Res(π)=-1
Res(-π)=-1
Res(2π)=1
Res(-2π)=1
となるので、
∫ 1/sin(z) dz=2πi(1-1-1+1+1)=2πi

(2)∫ 1/(1-cos(z)) dz

f(z)=1/(1-cos(z)) について、f(z) は cos(z)=1、つまり z=2mπ で特異点をとり、特にCの内部では z=0,±2π が特異点となる。ここで f(z) を z=0 のまわりで展開すると、
f(z)=1/(1-1/2(z^2)+1/24(z^4)-・・・)
=1/(1/2(z^2)-1/24(z^4)+・・・)
であることから、Res(0)=0
同様に、Res(π)=0,Res(-π)=0 なので、
∫1/(1-cos(z)) dz=2πi・0=0

(3)∫ (1+z)/(1-e^z) dz

f(z)=(1+z)/(1-e^z) について、f(z) は z=2πim（mは整数）で特異点をとり、とくにCの内部では z=0,±2πi で特異点となる。ここで、
Res(0)=-1
Res(2πi)=-1-2πi
Res(-2πi)=-1+2πi となるので、
∫(1+z)/(1-e^z) dz=2πi(-1-1-2πi-1+2πi)=-6πi

(4)∫ tan(z) dz

f(z)=tan(z)=sin(z)/cos(z) について、f(z) は z=(2m+1)π/2 で特異点をとり、特にCの内部では z=±π/2、±3π/2,±5π/2 で特異点となる。ここで、
Res(±π/2)=-1
Res(±3π/2)=-1
Res(±5π/2)=-1 となるので、
∫tan(z) dz=2πi・(-6)=-12πi

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1),(3),(4)は合ってます。

(2)
>f(z)=1/(1-cos(z)) について、f(z) は cos(z)=1、つまり z=2mπ で特異点をとり、
>特にCの内部では z=0,±2π が特異点となる。
ここまではOK

>ここで f(z) を z=0 のまわりで展開すると、
>f(z)=1/(1-1/2(z^2)+1/24(z^4)-・・・)
>=1/(1/2(z^2)-1/24(z^4)+・・・)
>であることから、Res(0)=0
これは駄目。

f(z)=2/z^2+1/6+z^2/120+z^4/3024+R_6
であることから、Res(0)=0
留数の値は同じですが…。

>同様に、
「同様に」と書いた場合、それ以前が間違っていた場合、間違いも「同様に」となりますのでご注意下さい。

f(z) を z=2π のまわりで展開すると、
f(z)=2/(z-2π)^2+1/6+(z-2π)^2/120+(z-2π)^4/3024+R_6

f(z) を z=-2π のまわりで展開すると、
f(z)=2/(z+2π)^2+1/6+(z+2π)^2/120+(z+2π)^4/3024+R_6

>Res(π)=0,Res(-π)=0 なので
間違い。
正：Res(2π)=0,Res(-2π)=0 なので

結果として留数自体は同じですので
積分結果は合ってます。

お礼

ありがとうございます。(2)のローラン展開のしかたが理解できませんでしたが・・・
また別の機会に自学することにします。