積分路

質問

教えてください！

曲線Cは点z=0を始点、z=2+(i/2)を終点とする任意の曲線である。次の積分の被積分関数はz平面の全域で不定積分をもつことを確かめ、次の積分を求めよ。

(1)∫c (6z+1)dz

(2)∫c (eπz乗)dz

(3)∫c (cosπz)dz

回答No.1

alice_44

始点と終点だけ決まった任意の積分路で積分が同じになるためには、
任意の閉路積分が 0 になることが必要十分条件である。これは、
始点から終点へひとつの積分路で行き、他の積分路を逆向きに辿って
始点へと戻る閉路積分を考えれば、示すことができる。
任意の閉路積分が 0 になるための必要十分条件は、被積分関数が
整関数(複素平面全域で正則)であること。
これは、コーシーの積分定理から従う。

(1)(2)(3)の各被積分関数が整関数であることを示してみよう。
頑張ってね。