- ベストアンサー
複素数の積分
次の積分を求めよ。積分路は、下端と上端を結ぶ線分とする。 (1) ∫(e^(iz)) dz (z=0~π/2) (2) ∫cosz dz (z=0~π+i ) (3) ∫z / (z+1) dz (z=0~1+i )
- smileshower
- お礼率0% (0/28)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数0
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
何を迂遠な。 ∫(e^(iz))dz = (1/i)e^(iz) + (積分定数) より、 ∫[z=0~π/2](e^(iz))dz = (1/i)e^(iπ/2) - (1/i)e^0 ←ここまでで止めてもよい。 = (1/i)i - (1/i)1 = 1 + i。 ∫(cos z)dz = (sin z) + (積分定数) より、 ∫[z=0~π+i](cos z)dz = sin(π+i) - sin(0) ←ここまでで止めてもよい。 = { e^i(π+i) - e^-i(π+i) }/(2i) - 0 = { e^(iπ)e^(-1) - e^(-iπ)e^1 }・(-i/2) = { (-1)(1/e) - (-1)e }・(-i/2) = { (1/e) - e }・(i/2) ∫[z=0~1+i] { z/(z+1) }dz = ∫[z=0~1+i] { 1 - 1/(z+1) }dz = ∫[z=0~1+i] dz - ∫[z=0~1+i] dz/(z+1) = [ z ]_(z=0~1+i) - [ log(z+1) ]_(z=0~1+i) = { (1+i) - 0 } - { log(2+i) - log(1) } = 1 + i - log(2+i) ←この log の枝選択に、先述の考察が要る。
その他の回答 (2)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
(1) z=x e^(iz)=cos(x)+isin(x) I=∫[0,π/2]cos(x)dx+i∫[0,π/2]sin(x)dx =sin(π/2)-sin(0)-i(cos(π/2)-cos(0)) =1+i (2) z=x+iy cos(z)=cos(x+iy)=cos(x)cosh(y)-isin(x)sinh(y) I=∫[0,π]cos(z)dz+∫[π,π+i]cos(z)dz =∫[0,π]cos(x)dx-i∫[0,1]cosh(y)dy =0-isinh(1) =-i(e-(1/e))/2 (3) I=∫[0,1] x/(x+1)dx+i∫[0,1] (1+iy)/(2+iy)dy =∫[0,1] (1-1/(x+1))dx+i∫[0,1] (2+y^2+iy)/(4+y^2)dy =1-ln(2)-∫[0,1]y/(y^2+4)dy+i∫[0,1](1-(2/(y^2+4)))dy =1-ln(2)-(1/2)(ln(5)-2ln(2))+i(1-tan^-1(1/2)) =1-(1/2)ln(5)+i(1-tan^-1(1/2)) ◆自分で計算して合っているかチェックしてみて下さい。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
(1)(2)は、被積分関数が整関数だから、 不定積分して、両端での値の差を求めるだけ。 どちらも、不定積分がよく知られた関数だし。 (3)は、= ∫{ 1 - 1/(z+1) }dz と分解すればよい。 ∫{ 1/(z+1) }dz の部分を計算するときに、 積分路を考慮して log(z+1) の枝を選ぶ必要が生じる。 複素平面を、実軸正部分で切開しておけば十分と思う。 やり方は書いたから、計算は自分でね。
関連するQ&A
- 積分値を複素関数を使って求める
お世話になります。 【問題】 実変数θに対する下記の積分値を、複素関数を使って求めよ。 ∫[ 0 → 2π ]1 / ( 5 - 3cosθ )^2 dθ 【自分の解答】 オイラーの公式より cosθ = ( exp( iθ) + exp( -iθ ) ) / 2 これを与式に代入して ∫[ 0 → 2π ]1 / ( 5 - 3 ( exp( iθ) + exp( -iθ ) ) / 2 )^2 dθ = (*) ここで z = exp( iθ) + exp( -iθ ) とおくと dθ/ dz = 1 / (dz / dθ) = 1 / iz ∴dθ= ( 1 / iz )dz また θ:0 → 2π z :2 → 2 よって (*) = ∫[2 → 2]1 / ( 5 - 3z / 2 )^2 ( 1 / iz )dz (ここから不明) 【質問】 上記のやり方では積分範囲が2 → 2となり被積分関数がどんなものであろうとその積分値は0になってしまいます。 私の解答は間違っていると思うのですが、何が間違っているのか、どうすれば正しくなるのかがわかりません。 どなたかご教授よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
複素関数f(z)を、 f(z)=(1-e^(2iz))/z^2 (zはC/{0}の元) とします。 (1)z=0におけるローラン展開 (2)R>0に対して、上半円弧CrをCr={z=Re^(iθ) : 0≦θ≦π}とし、 反時計回りに向きを入れるとき、 lim[R→∞] ∫[Cr] f(z)dz という上記の二問についてですが、 (1)について e^zのテイラー展開にz=2izを代入し f(z)=(1/z^2){1-(1+z+(z^2)/2!+…} =-Σ[n=1→∞] (((2i)^n)z^(n-2))/n! と強引に計算しましたが、これで大丈夫なのでしょうか? (2)について z=Re^(iθ)を与式に直接代入して、 lim[R→∞] ∫[Cr] f(z)dz =lim[R→∞] ∫[0,π] {1-e^(2iRe^(iθ))}/{Re^(iθ)} dθ として、ここから積分評価をしていきたいのですが、どのようにして考えていけばよいのでしょうか?とりあえず、被積分関数の絶対値を考えてみたのですが、うまくいきません。どなたかアドバイスをいただけませんか? 以上の二問ですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素関数の問題
次の問題の解き方あっているでしょうか? 「cosz=2を満たす複素数zを求めよ」 cosz=(e^(iz)+e^(-iz))/2なので、 (e^(iz)+e^(-iz))/2=2 e^(iz)+e^(-iz)=4となるから、両辺にe^(iz)を掛けて e^(2iz)-4e^(iz)+1=0 これは、e^(iz)の二次方程式なので、解の方程式より e^(iz)=2±√3 ここで、z=x+iyと置き換えると、 e^(-y)e^(ix)=(2±√3)(e^i(2nπ))となり y=-log(2±√3) x=2nπ よって、z=2nπ-log(2±√3)となる。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線積分の問題だと思うんですけど…
z = x + iy のとき∫Γ(x - y + ix^2)dzを求めよ。Γはz = 0から z = 1 + i までを結ぶ線分という問題ですが線積分のやり方がわかりません。どなたか線積分のやり方と問題の御回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数