複素関数の積分

質問

次の積分をどなたかご教授願います。

1) ∫e^z/(z^2+1)dzの|z|=2における積分、
2) ∫e^(2z)/((2z+1)^3)dzの|z|=1における積分

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

1）
C:|z|=2の積分経路は原点を中心とする半径2の単一円周経路なので、被積分関数の孤立特異点z＝±iがこの経路の内部に存在します。

f(z)=e^z/((z+i)(z-i))なので
なのでコーシーの積分公式から
∫[C] e^z/(z^2+1)dz
=2πi{e^z/(z+i)|(z=i) +e^z/(z-i)|(z=-i)}
=2πi(e^i-e^(-i))/(2i)
=2πisin(1)

2)
C:|z|=1の積分経路は原点を中心とする半径1の単一円周経路なので、被積分関数の孤立特異点z＝-1/2がこの経路の内部に存在します。

f(z)=(e^(2z))/(2(z+(1/2))なので
Res(f(z),z=-1/2)
=lim(z→-1/2) f(z)(z+(1/2))
=lim(z→-1/2) (1/8)(e^(2z))/(z+(1/2))^2
ロピタルの定理を用いて
=(1/8)lim(z→-1/2) (2e^(2z))/{2(z+(1/2))}
=(1/8)lim(z→-1/2) (e^(2z))/(z+(1/2))
ロピタルの定理を用いて
=(1/8)lim(z→-1/2) (2e^(2z))/1
=1/(4e)

したがって留数定理より
∫[C] (e^z)/(2z+1)^3 dz
=2πiRes(f(z),z=-1/2)
=2πi(1/(4e))
=πi/(2e)

お礼

良くわかりました。どうも有り難うございます。

回答No.2

gonzou1964

∫f(z)/g(z)dz でαが孤立特異点で、

g(α)=0、g'(α)=0のとき、2πi*{f(α)/g'(α)}

（2つ以上あるときはその和）

∫(e^z)/{(z^2)+1}dz |z|=2

孤立特異点はi,-i

2πi*{(e^i)/2i}+2πi*{(e^(-i)/(-2i)}

=(πe^i)-(πe^(-i)) ここで　e^2πi=-1より

e^2π*e^i=-1だからe^i=-1/e^2π

したがって

=(πe^2π)-(π/e^2π)

(2)はやってみて下さい。

お礼

良くわかりました。どうも有り難うございます。2)についても自力で解くことが出来ました。

回答No.1

151A48

留数定理を使って解きます。
（１）被積分関数をf(x)とする。
|z|=2内部での孤立特異点はi，-i
i での留数　lim(z→i)(z-i)f(z)=e^i/2i
-i での留数　lim(z→-i)(z+i)f(z)=e^-i/-2i
留数定理より　求める積分＝2πi((e^i/2i)-(e^-i/2i)）=π(e^i-e^-i)

(2)z=-1/2は|z|=1内部での３位の極。
(z+(1/2))^3f(z)=e^2z/8を２回微分して(1/2)e^2z
-1/2での留数＝(1/2!)lim(z→1/2)(1/2)e^2z=(1/4)e^-1
留数定理より　求める積分＝２πi(1/4)e^-1=(1/2)πie^-1

お礼

良くわかりました。どうも有難うございます。