複素積分の問題

質問

複素積分の問題

次の複素積分の問題が分かりません.
アドバイスいただけたら幸いです.

次の複素関数について以下の問に答えよ
f(z) = z^-c / ( 1+z )
ただし、0<c<1

（1）複素平面上におけるf(z) の全ての特異点を求めよ

（2）図中の閉曲線をγとする閉曲線γの矢印にそった向きの「周回積分」
∫γ f(z)dzを求めよ
γRは半径(R>1)の円し,γｒは半径(r<1)の円を表す

（3）z=R exp(iθ)またはr=R exp(iθ) (0<θ<2π)とおくことにより,
曲線及び曲線に沿った「周回積分」の絶対値
│∫γR f(z)dz│および、│∫γr f(z)dz│
がR→∞、r→0の極限において0に収束することを証明せよ

(4)以上の結果を用い、次の「積分」

∫（0→∞） x^-c / ( 1+x ) dx = π/ (sinπc)

を証明せよ

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

f(z)=z^(-c)/(1+z) (0<c<1)

特異点は、分母=0 となる点であるから(1)はすぐに分かる。
0<c<1だからz = 0で分岐点を取る事になる。

(2)で半径rの積分路においてはr<1なので、図で与えられた積分路の内部に特異点z = -1を含む。
なので留数定理を使う事になる。

∫γ{f(z)}dzは以下の積分に分割出来る。
I：実軸上でr→Rに向かう路
II：γRの路 (0<R<2π反時計回り)
III：実軸上でR→rに向かう路
IV：γrの路 (0<r<2π時計回り)
積分路γ内部の特異点はz=-1のみで、分岐点z=0は周回していないので、積分の値は以下のようになる。
∫γ{f(z)}dz = ∫[I]+∫[II]+∫[III]+∫[IV] =2πi・(留数)

実軸上z=rでargz=0にとれば、z=-1ではargz = π。
z = -1における留数Res{f(z)}|(z=-1) = lim(z→e^(πi)){(z+1)f(z)} = lim(z→e^(πi)){z^-c}
= e^(-iπc)
∴∫γ{f(z)}dz = ｛∫[I]+∫[II]+∫[III]+∫[IV]｝f(z)dz = 2πi・e^(-iπc)

I: z = x dz = dx , argz = 0 , x = r→R
III：z = xe^(2πi) dz = dx , argz = 2π , x = R→r
よって
∫[I]+∫[III] = ∫[r,R]{x^(-c)/1+x}dx + e^(-i2πc)・∫[R,r]{x^(-c)/(1+xe^2πi)}e^(2πi)dx
= (1-e^(-i2πc))∫[r,R]{x^(-c)/1+x}dx
= -2ie^(-iπc)・sin(πc)∫[r,R]{x^(-c)/1+x}dx

∫[II]および∫[IV]は計算するとR→∞ , r→0でそれぞれ0に収束する。

従って
R→∞ , r→0のとき
∫[r,R]{x^(-c)/(1+x)}dx
= ∫[0,∞]{x^(-c)/(1+x)}dx
= 2πi・e^(-iπc)/-2ie^(-iπc)・sin(πc)
= π/sin(πc)

お礼

詳しい解説ありがとうございます

お陰様で完全に理解できました！

本当にありがとうございます！