複素積分の計算問題

質問

以下の問題のやり方を教えてほしいです。お願いします><

積分路CをC=|z|=3の曲線とするとき、複素積分を計算せよ。

∫c (z/(z^2+z-2))dz

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1は
> z/(z^2+z-2)
を 「z/(z^2+z^(-2))」
と勘違いしておりました。
やり方はいいですが式を間違えていましたのでA#1は削除し、以下と差し替えて下さい。

改めて回答します。
z/(z^2+z-2)=z/{(z+2)(z-1)}
特異点はz=-2,z=1（いずれも1位の極）
この２つ特異点は積分路C:|z|=3の円周の内部に含まれる。
この2つの特異点における留数を留数定理を使って求めると
Res(-2)=z/(z-1)|(z=-2)=2/3
Res(1)=z/(z+2)|(z=1)=1/3
したがって
∫c (z/(z^2+z-2))dz =2πi{Res(-2)+Res(1)}
に上で求めた留数を代入すれば積分が求まります。

回答No.5

alice_44

前のは笑えたけど、No.4 は笑えない。
毎度のことだが、No.2 の丸写しやんか。

回答No.3

alice_44

←A No.1 なんでやねん！ ビシッ！
(笑うとこかどうか、しらんけど。)

回答No.2

rnakamra

f(z)=z/(z^2+z-2)=z/{(z+2)(z-1)}
とおくと、f(z)の極はz=-2,1でそれぞれ1位の極になります。

z=-2,1は積分経路で囲まれた領域内にありますから、求める値はそれぞれの極での留数の和に2πiをかけたものになります。
(積分経路のとり方が反時計回りの場合、逆向きだと-1倍)

回答No.1

info22_

(z/(z^2+z-2))=(z^3)/(1+z^4)
なので
1+z^4=0から4個の特異点を求めると
z=e^(iπ/4), e^(-iπ/4), e^(i3π/4), e^(-i3π/4)
これらの特異点はすべて積分路C(原点を中心とする半径3の円の円周)内に含まれる。
なのでこれらの特異点における4個の留数をすべて求めて加え、その和を2πi倍すれば
複素積分∫c (z/(z^2+z-2))dz
の積分値になります。

この手順に従って積分してみてください。
行き詰ったなら、そこまでの解答の途中計算を補足に書いて、そこのどこの何がわからないかを質問して下さい。