複素積分

質問

複素積分の復習をしているのですが、参考書と違う答えが出てきてしまって、なぜその方法が間違っているのかわかりません。
Cを、|Z|=2を反時計回りに回る経路だとして、
∫_C dz/(z(z-i))…(1)
を計算するだけの問題で、答えは、コーシーの積分値の定理より4πiです。
自分は、最初、これを
1/(z(z-i))=i(1/z-1/(z-i))
と変換して、
(1)=i∫_C 1/z - 1/(z-i) dz…(2)
ここで、z=0を時計回りに回る経路をC0,z=iを時計回りに回る経路をCiとおくと、
(2)=i(∫_C0 1/z - 1/(z-i) dz+∫_Ci 1/z - 1/(z-i) dz)
=i(2πi - 2πi)
=0
になってしまいます。この計算が明らかに間違っていることは、ほとんどの分数の複素積分が0になってしまうことからわかるのですが、どこが間違っているのでしょうか。
＞管理人さんへ
課題を聞いている問題ではなく、復習中にどこが間違っているのかわからないので質問しているだけなので、削除しないでください。

回答No.4

kazaguruma87 · ベストアンサー

確かに｜ｚ｜＝２なので極はCの内部に含まれているから

　与式＝２πi｛Res（ｚ＝0）+Res（ｚ＝i）｝

ここで、

　Res（ｚ＝0）＝ｆ（ｚ）ｚ｜ｚ＝0
　　　　　　　＝1/（ｚ-i）｜ｚ＝0
　　　　　　　＝i

　Res（ｚ＝i）ｆ（ｚ）（ｚ-i）｜ｚ＝i
　　　　　　　＝1/ｚ｜ｚ＝i
　　　　　　　＝-i

なので

　与式＝２πi(i-i)=0

ですね。
もし、古い本であれば、改訂版が出ているかもしれませんのでそちらを見てみてもよいではないでしょうか。新しいのでしたら、出版社に送りましょう。参考書ではありませんでしたが、過去に知人が出版社に間違いを指摘したところ、お礼で図書券が届いたそうです（笑

回答No.3

oyaoya65

＞Cを|z|=2として、
＞∫_C dz/(2z^2-z-1)
　これもゼロですね。

大学の先生もピンからキリまでいて、専門外の講義の担当を押し付けられていたり、教科書の演習問題を自分の研究室の大学院生や卒研生にチェックさせたりして自分で一字一句チェックしていない場合もあります。教授と助教授共著の場合は前書き位は教授が書いて後は助教授に任せてしまって（押し付けて）いるといった、そんな大学の教授や助教授も中にはまぎれていることもあります。つまり、なかには、評価されない仕事は手抜きをする先生もいて、そんな手抜きが教科書のミスを見逃したのでしょうね。ただ本の数だけ出して（中身は評価でチェックされませんから）評価して貰おうとした焦り、または手抜きでしょうね。改訂版が出れば訂正されてはいくと思います。最近の大学も、定員削減で、研究教育以外の雑用が多くなってきているのも影響しているのかも知れませんね。大学の予算も毎年のように削減される傾向にあります。

ミスの多い教科書の回答はあまり信用しないほうが良いでしょうね。中の解説や解答が正確に書かれているかチェックしてみればいい本か大体分かると思います。

お礼

回答ありがとうございました。図書館で借りた本なのですが、よく見ると、例題にも前に読んだ人が訂正をしていたりして、練習問題に関しては怪しげなようです。
薄い割に練習問題と回答がしっかりのっていて、説明もわかりやすかったのでいい本だな、と思ったのですが、的外れだったようですね。
本当に質問してよかったです。放っておいたら、これは、教科書のように計算するものだ、と暗記してしまうところでした（汗。こんな本もあるのですね。
これから、ほかの参考書を探しにいこうと思います。ありがとうございました。

回答No.2

oyaoya65

＞(2)=i(∫_C0 1/z - 1/(z-i) dz+∫_Ci 1/z - 1/(z-i) dz)
=i(2πi - 2πi)
=0

#1さんの回答と同じく
これであっていると思います。

お礼

みなさん、心強い回答ありがとうございます。
あってるなら、いいんです。参考書の方が間違っているんでしょうか？
今見ている参考書には、堂々と、
∫_C 1/(z(z-i)) dz
0<2,|i|<2から、与式=2*2πi=4πiと書いてあるんです。

おそらく、部分分数分解をしない形で、極が原点中心半径2の円に入っているかどうかをカウントして、入っていたら2πi倍する、ということをやっているんだと思います。一問だけならいいんですけど、他にも、やはり、Cを|z|=2として、
∫_C dz/(2z^2-z-1)
2z^2-z-1=2(z+1/2)(z-1)で、|-1/2|<2,|1|<2より、与式=2*2πi=4πi、などと、練習問題大問一問分、計四問同じ論法で解答されています。
一つならまだしも、４つ間違えているということはないだろう、と思って質問してみた次第です。それでもやはり、これは参考書の方が間違っているのでしょうか？

ちなみに、ちゃんと数学専攻の教授・助教授さんが二人で書いた共著の本です。

回答No.1

ojisan7

別に悩むほどのことではなく、
積分の値は０で良いんではないですか。