複素関数の周積分の問題です。

質問

問題は次の二つです。　
∫dz/(z-3i) 積分経路は　|Z|=π　で反時計まわり。　
∫(exp(z)/z)dz 積分経路は　|Z|=2で反時計と|Z|=1で時計まわり。　　初めの問題はコーシーの積分定理を使えば2πiになるのは、理解できるのですが、積分定理を使わずに与えられた積分経路で積分をしていった所(z(t)=πexp(it)とした。)、[log|πexp(it)-3i|] tの区間０～２π　となりこれを計算すると0になってしまいました。なぜ答えが違うのでしょうか。
二番目の問題もコーシーの積分定理を使って二つとも同じ原点を中心とした半径ｒの円の積分経路に置き換えれば、0になることはすぐわかるのですが、定理を使わずに計算していった所∫iexp(exp(it))dtや∫iexp(2exp(it))dtといった項が出てきてこれが計算できないのです。この問題は大人しく定理を使わなければ解けない問題なのでしょうか。
以上の2点が分からず困っています。どなたかお力をお貸しください。
よろしくお願いします。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

>なぜ答えが違うのでしょうか。
簡単に言えば、対数関数は多価性を持つからです。しかも、[log|πexp(it)-3i|] のように、絶対値記号を使っているから間違うのです。高校数学で∫dx/x=log|x|と教わったことを鵜呑みにした結果です。複素関数に絶対値記号をつければ、複素関数論の意味がなくなってしまいますよね。

質問者さんの論法に従えば、
∫dz/z=2πiはコーシーの積分定理を使えば理解できるけど、積分定理を使わずに与えられた積分経路で積分をし、z=rexp(iθ)としたとき、
[log(rexp(iθ)] θの区間０～２π　となりこれを計算すると0になってしまいますよね。しかし、実際は、
[log(rexp(iθ)]=[log(r)+iθ] θの区間０～２πですから、2πiになります。

お礼

やっぱり、実数のように積分したのがいけなかったのか。　ojisan7さんありがとうございました。二つ目の問題については自分でもう少し考えてみようとおもいます。