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複素積分、積分路に関する問題が解けなくて困っています。
複素積分、積分路に関する問題が解けなくて困っています。 来年大学院受験です。 問題は http://www.i.u-tokyo.ac.jp/edu/entra/pdf/archive/10math-j.pdf の第2問です。 (1)不定積分はすぐに解けるのですが、 (2)の積分経路はどうしていいかわかりません。 自分の途中までの回答としては、 (1)はtan^(-1)x + C, (1/2)*log(x^2+1) + C (2)はS1,S2,S3,S4の経路をそれぞれ z(t)=1+it (-1≦t≦1) z(t)=-t+i (-1≦t≦1) z(t)=-1-it (-1≦t≦1) z(t)=t-i (-1≦t≦1) とし、それぞれtで微分すると、 dz=idt dz=-dt dz=-idt dz=dt となり、それぞれ、 I_1 = ∫(-1~1) 1/(1+it-(a+ib)) * idt I_2 = ∫(-1~1) 1/(-t+i-(a+ib)) * -dt I_3 = ∫(-1~1) 1/(1+it-1-it-(a+ib)) * -idt I_4 = ∫(-1~1) 1/(t-i-(a+ib)) * dt という風に表せると思いますが、 ここでI_1は定積分すると log|(i+1-a-ib)/(-i+1-a-ib)|となりましたが、このままでいいのでしょうか? 何かもう少し変化させたりとかできないのでしょうか? 少々行き詰ってしまったので、指標をいただければ嬉しいです。 よろしくお願いいたします。
- sneezeman
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- alice_44
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(2) I_1 = ∫[-1~1] 1/(1+it-(a+ib)) idt = ∫[-1~1] i/(1-a+i(t-b)) dt = ∫[-1~1] i(1-a-i(t-b))/{(1-a+i(t-b))(1-a-i(t-b))} dt = ∫[-1~1] {i(1-a)+(t-b)}/{(1-a)^2+(t-b)^2} dt = i∫[-1~1] (1-a)/{(1-a)^2+(t-b)^2} dt + ∫[-1~1] (t-b)/{(1-a)^2+(t-b)^2} dt まで分解して初めて、実積分になる。 ∫(1-a)/{(1-a)^2+(t-b)^2} dt は、t-b = (1-a) tanθ で置換する定石。 ∫(t-b)/{(1-a)^2+(t-b)^2} dt は、(1-a)^2+(t-b)^2 = u で置換する定石。 > log|(i+1-a-ib)/(-i+1-a-ib)|となりましたが 複素積分では、∫dt/t = log t。実積分でなければ、∫dt/t = log |t| としたらダメよ。 多価関数の枝が、正則に繋がらなくなるから。 (3) すなおに留数定理を使う場面。 被積分関数を部分分数分解すれば、全ての極での留数が求まる。 (4) f(x) が x=a に n 位の極を持つとすれば、 f(x) = (x-a)^n・P(x) と置いて、f'/f = n/(x-a) + P'/P。 被積分関数の x=a での留数は n だから、正値。 よって、閉路内の留数和は正値となる。 対偶をとれば、題意が得られる。
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