複素積分について。

質問

Z=e^it (0≦t≦π)のとき、∫Logz dzを計算する問題なのですが、
dz=ie^it dtまではわかるのですが、そこからどうすればいいのでしょうか？

回答No.1

A-Tanaka · ベストアンサー

こんばんは。

多分、分かっているのに、質問されているのだろうと思いますが・・・。
あとは、Log zの値を求めます。Log z = it

よって、∫it*ie^（it ）dtの積分を解きます。ここからは、普通の部分積分と同じ方法によって求めることができます。

付録）さて、この式において、区間連続性について考えてみましょう。この式は、複素空間においては連続であるということが証明できます。なぜならば、この式をテーラ展開もしくはマクローリン展開してみてください。

お礼

z dzを先に計算してしまい、混乱してしまいました。
先にLogzを計算して部分積分をしたら無事2-πiを得ました。
ありがとうございました！

回答No.3

sanori

LogZ = Log ｅ^(it) = ｉｔ
∫LogZ dz = ∫ｉｔ・ｉｅ^(it)　ｄｔ
　＝　∫ｔ・｛－ｅ^(it)｝ｄｔ

部分積分を用います。
∫ｕｖ’ｄｔ　＝　ｕｖ　－　∫ｕ’ｖｄｔ

ｕ＝ｔ、　ｖ’＝－ｅ^(it)、
　ｕ’＝１、　ｖ＝－ｅ^(it)／ｉ＝ｉｅ^(it)

∫ｔ・｛－ｅ^(it)｝ｄｔ　＝　ｔ・ｉｅ^(it)　－　∫１・ｉｅ^(it) ｄｔ
　＝　ｉｔ・ｅ^(it)　＋　ｅ^(it)　＋　Ｃ
　＝　（ｉｔ　＋　１）・ｅ^(it)　＋　Ｃ

ｔ＝０～π

・・・・・・・・・・・

計算不得意ゆえ、検算お願いします。

お礼

ありがとうございます！無事解くことが出来ました。

回答No.2

eringui

単純に計算でいけると思います。

∫Logz dz = -∫te^it dt = -[-ite^it](π,0) + (-i)∫e^it dt

= πi - [e^it](π,0) = 1

お礼

説明不足ですみません。答えは2-πiになるようです。

先にLogzを計算してから部分積分にかければいいのですね。
ありがとうございました！