微分積分

質問

Az=(μI)∫-∞から∞(1/√(Zの２乗＋r1の２乗)-(1/√(Zの２乗＋r2の２乗) dzを計算しようとして、

∫-∞から∞(1/√(Zの２乗＋r1の２乗)の(1/√(Zの２乗＋r1の２乗)を
ｔと置いて置換積分しようとしたのですが、
Zの２乗＋r1の２乗＝ｔ
2zdz=dt
dz=(1/2z)dt
としたのですが、
積分範囲が
z ┃ ー∞　→　　∞　　　
ーーーーーーーーーーーーー
ｔ┃ ∞　　→　　∞

∞から∞になってしまいました。
この場合どうなるのですか？

ご回答お願いします。

回答No.2

noname#50894 · ベストアンサー

>なぜ、t=z+√(z^2+r^2)}なるのですか？

所謂、定石なのでしょうね。
この置き方は、答えを見透かしたような置換積分であるのは事実です。
理科系の学部であれば、1学年の解析学でこの方法は必ず習うと思います。

例えば、解析概論（改訂第三版）であれば、p.124辺りに載っています。

お礼

わかりました。

ありがとうございました。

回答No.3

noname#50894

＝ついでですから、計算も＝

不定積分を行うと
∫{1/√(z^2+r1^2)-(1/√(z^2+r2^2)}dz
=log［{z+√(z^2+r1^2)}/z+√(z^2+r2^2)}］
となり、

z→∞のときの値が0
z→-∞のときの値が-2*log(r2/r1)

A=2μ*log(r2/r1)
となると思います。
違っていたら。ご容赦下さい。

回答No.1

noname#50894

∫{1/√(z^2+r^2)}dz
は
・t=z+√(z^2+r^2)}とおいて解く
・z=r*sinh(t)とおいて解く
のいずれかが、一般的です。
この場合は、前者の方が簡単です。

補足

ありがとうございます。

なぜ、t=z+√(z^2+r^2)}なるのですか？