積分における置換の際の積分範囲は？

質問

現在、「積分」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
たとえば、
Cosx=t（元のｘの積分範囲が０→πのとき）と置換したとき、
-sinxdx=dt
ｔの積分範囲は、１→―１でしょうか？それとも、－1→１でしょうか。

また
Sinx=tと置換したとき（元のｘの積分範囲が０→πのとき）
Cosxdx=dt
このときｔの積分範囲は、
０→１ですか？それとも、１→０でしょうか？
これによって答えもかわってくると思うのですが、、やっぱり０→１なんでしょうか？

基本的には元の範囲が０→πのとき、置換後の範囲は、
（０に対応するｔ）→（πに対応するｔ）ということでいいのでしょうか。
お答えとその理由を教えていただきたいです。

私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.7

eatern27 · ベストアンサー

何度もすいません。

(α≦x≦βにおけるgの値域をg(α≦x≦β)と書きます)
・fがg(α≦x≦β])上で連続
・gがα≦x≦β上でC^1級(⇔微分可能で導関数が連続)
を満たす時、(gの単調性は必要ない)

∫[x:α→β]f(g(x))g'(x)dx=∫[t:g(α)→g(β)]f(t)dt

が成り立ちます。

つまり、
置換する前の被積分関数をf(g(x))g'(x)と表した時に、上の条件を満たしていれば、
積分区間をx:α→βからt:g(α)→g(β)とする
と考えて、問題は起こりません。

∫sinxdxをt=sinxで置換する例は、
t=1=sin(π/2)において、fに相当する関数が、t=1(=sin(π/2))で不連続(むしろ未定義)なので、上の式が成り立たなくても、問題はありません。

(※この後は、いろいろと引っかかる所をごまかしつつ書いているので(ぉぃ)、間違ってるかもしれませんm(_ _)m)

ところで、置換積分にはもう一種類あります。上に書いたのは、t=g(x)で置換した場合ですが、x=h(s)で置換することもありますよね。この場合の公式(?)は、

∫[x:γ→δ]f(x)dx=∫[s:h^(-1)(γ)→h^(-1)(δ)]f(h(s))h'(s)ds

こんな感じになると思います。
(まぁ、これは、最初の置換積分で、右から左に変形したものと考えられますが)

右辺の積分区間にh^(-1)が登場します。なので、hが逆関数を持つ、つまり、単調である必要があります。
置換前の積分区間で、hが単調でなければ、積分区間が単調となるように分割する必要があると思います。

さて、
Sinx=tで置換する場合の質問ですが、これは、前者のパターンの置換ですよね。

なので、私は、0→0でよいと思います。(もちろん、最初に書いた条件を満たしていれば。高校の範囲なら、大抵の場合、満たしているでしょうが)

まぁ、どっちの置換の時が単調じゃないとダメだったのか混乱しそうですので、どっちの置換の時でも、単調な区間に分割した方が、安全かもしれません。

(分割しないといけない、って方が、多数派のようですので、私が書いた事を鵜呑みにしないほうがよい気もします)

あと、
＞「sinxが単調でないから」ではなく、「tanxがx=π/2で定義されていないから」だと思いますが、いかがでしょうか？
「定義されていないから」ってのも違う気がしてきました。

∫sinxdxの被積分関数(=sinx)を f(g(x))g'(x)の形で書くと、(g(x)=sinxです)cosxの正負で場合分けをする必要がでてきます。

だから、[0,π/2],[π/2,π]で分割する必要があるのではないでしょうか？(∫[-1→2]|x|dxを求める時に、[-1,0],[0,2]に分割して考えるのと似た考えだと思います)

cosxの正負で場合分けをする必要がある理由の大元を辿ると、sinxが単調じゃないから、なのかもしれませんが、単調でないからといって、必ず分割の必要性が出るわけではありません(しかも、そのような例はいくらでもあります)。
なので、少なくとも分割する理由は、「単調でない事」以外に、あると考えるべきではないでしょうか？
あるいは、「単調でない、かつ、○○だから」のような理由なのかもしれませんが。

長文＆乱文で失礼しました。

お礼

度々のご意見をありがとうございました。置換というのは結構単純かと思っていましたが・・・。みなさんにいただいたご意見を参考にさらなる練習問題にとりくみたいと思います。長い間お付き合いいただきありがとうございました。

回答No.6

tarame

積分範囲が、[x:0→π]の定積分を t＝sinx と置いて、
(1) [t:0→0]とするのも
(2) [t:0→1]とするのも　間違いです！
積分範囲を、
[x:0→π/2]と[x:π/2→π]と分割して
[t:0→1]　と [t:1→0]　とします。

お礼

御回答ありがとうございます。
やはり分割するのがよいようですね。

回答No.5

eatern27

#1+#3です。

f(t)の原始関数の１つをF(t)とします。t=g(x)として、

(d/dx)F(g(x))=f(g(x))g'(x)
より、F(g(x))はf(g(x))g'(x)の原始関数の１つ。よって、
∫[x:α→β]f(g(x))g'(x)dx=F(g(β))-F(g(α))
一方、
∫[t:g(α)→g(β)]f(t)dt=F(g(β))-F(g(α))

以上より、
∫[x:α→β]f(g(x))g'(x)dx=∫[t:g(α)→g(β)]f(t)dt

gの単調性は使っていませんが、積分区間が
x:α→βからt:g(α)→g(β)になりました。

f(g(x))g'(x)がt=γ∈(α,β)で定義されていない場合、
必ずしも、
＞∫[x:α→β]f(g(x))g'(x)dx=F(g(β))-F(g(α))
が成り立ちません。したがって、
＞∫[x:α→β]f(g(x))g'(x)dx=∫[t:g(α)→g(β)]f(t)dt
とはなりません。

I=∫[x:0→π]sinx dx
をt=sinxで置換する場合、

f(g(x))に相当するのは、tanxですが、これは、x=π/2で定義されていません。

なので、
＞∫[x:α→β]f(g(x))dx=∫[t:g(α)→g(β)]f(t)dt
に相当する式が成り立たなくても、おかしくないと思います。

積分区間を分割する必要が出てくるのは、
「sinxが単調でないから」ではなく、「tanxがx=π/2で定義されていないから」だと思いますが、いかがでしょうか？

回答No.4

springside

No.2です。

置換する場合の単調性の確保は必須だと考えます。

例えば、以下のような定積分を考えます。（これって、反例になりませんか？）

I=∫[x:0→π]sinxdx

これを普通に計算すると、

I=[-cosx][x:0→π]
=-cosπ - (-cos0)
=2
です。（sinxの１つの山とx軸とで囲まれる面積ですから、0にはならない）

これを、sinx=tと置換し、単純に「x:0→πなのでt:0→0」というふうにやると、積分の始点と終点が同じですから、自動的にI=0になってしまいます。これは矛盾ですね。

もちろん、cosxdx=dt、0≦x≦π/2ではcosx≧0、π/2≦x≦πではcosx≦0であることに注意して、
　dx=dt/cosx=dt/√(1-t^2) x:0→π/2つまりt:1→0
　dx=dt/cosx=-dt/√(1-t^2) x:π/2→πつまりt:0→-1
などというふうにやればＯＫのはすですが。

お礼

springsideさま、eatern27さま、
ここで、ご一緒にお礼を述べさせていただいてよろしいでしょうか。お二人とも、度々御回答いただき、本当にありがとうございました。

eatern27さまの＃１の御回答は実はすぐに読ませていただいていたのですが、それではうまくいかなかった問題があったはずだ、と反例を探すとともに、他の方の御回答がいただけるのをお待ちしていました。

そして＃２の御回答を読ませていただいて、
＞（x:0→πをそのまま置換してt:0→0にすると、被積分関数が何であっても積分結果は０になってしまいます）
というご意見にそうこういう場合！と思っていました。
そして、＃２の御回答のように分割すれば、いいのか、と納得しました。

が、＃３の御回答を読んで、なるほど、どちらの方法でも、結局同じ回答になるのか、と思うと、

＃４の御回答で、やっぱり違うの！？

と＃５の御回答は正直いまいちよくわかりません。もう一度考えてみたいと思います。もし可能であれば、＃５の一番最後の問の御回答がいただけたらと思います。

みなさま、お忙しいところいつもありがとうございます。

回答No.3

eatern27

一応、#2さんと私(#1)で違うことを書いているので、、、

被積分関数によらず、積分結果が０になること自体には、問題はありません。(むしろ、積分結果が０にならない方がおかしいと思います。)

実際、#2さんのように、
∫[x:0→π]f(sinx)cosxdxをsinx=tで置換する時に、積分区間を
＞　x:0→π/2　と　x:π/2→0
＞と分けて、
＞　t:0→1　と　t:1→0
としても、

∫[t:0→1]f(t)dt+∫[t:1→0]f(t)dt=0
となるので、結局、被積分関数によらず、積分結果は０になります。

なので、t=g(x)で置換する時には、
積分区間はx:α→βからt:g(α)→g(β)とする、
という解釈で問題ないと思います。

もちろん、
(置換前の)積分区間で、gの導関数が定義されていない
(置換後の)積分区間で、(置換後の)被積分関数が、定義されていない
などの場合には、上の解釈で支障が出てくる場合があるかもしれませんが、
そういう場合には、積分区間云々以前に、t=g(x)で置換できるのか、みたいな事になると思います。

積分区間を分割したところで、解決される問題でもないでしょう。

と言っても、証明しつつ考えた、って訳ではないので、自信なしです。なので、
＞積分区間はx:α→βからt:g(α)→g(β)とする
の解釈では上手く行かない例を示されると、ころっと、意見が変わるかもしれません。^^;

どうでしょうか？

回答No.2

springside

Sinx=tと置換したとき（元のｘの積分範囲が０→πのとき）Cosxdx=dt
このときｔの積分範囲は、
０→１ですか？それとも、１→０でしょうか？

これですが、置換するときは単調になるようにする必要があります。
つまり、xをtに置換するとすれば、xの変化に応じてtが単調に変化する（ずっと増加か、ずっと減少）ようにしなければならないので、この場合であれば、
　x:0→π
を
　x:0→π/2　と　x:π/2→0
に分けて、
　t:0→1　と　t:1→0
にします。
（x:0→πをそのまま置換してt:0→0にすると、被積分関数が何であっても積分結果は０になってしまいます）

回答No.1

eatern27

置換積分を確認してください。
∫[x:α→β]f(g(x))g'(x)dx
をt=g(x)で置換すると、
∫[t:g(α)→g(β)]f(t)dt
になります。

積分区間はx:α→βからt:g(α)→g(β)になっています。

＞Cosx=t（元のｘの積分範囲が０→πのとき）と置換したとき、
＞-sinxdx=dt
＞ｔの積分範囲は、１→―１でしょうか？それとも、－1→１でしょうか

cos(0)→cos(π)、つまり、1→-1です。

＞Sinx=tと置換したとき（元のｘの積分範囲が０→πのとき）
＞Cosxdx=dt
＞このときｔの積分範囲は、
＞０→１ですか？それとも、１→０でしょうか？

sin(0)→sin(π)、つまり、0→0です。

＞基本的には元の範囲が０→πのとき、置換後の範囲は、
＞（０に対応するｔ）→（πに対応するｔ）ということでいいのでしょうか。
その考えでよいでしょう。
そのようになる理由(証明？)については、置換積分の証明を、教科書や参考書等で確認してください。