積分区間

質問

積分区間(0→π)sinx/(2-(cosx^2))を積分する問題です。よろしくお願いいたします。
解答はこれをcosx=tと置換しているのですが、私は、解答を見る前は自分では、sinx=tと置換しました。が、置換するときに置換範囲で困ってしまいました。というのもｘが(0→π)のとき、tの積分範囲は0→0になってしまったからです。でも、この場合ｘが(0→π)のときsinxは0≦sinx≦1と動くので、積分範囲は置換後0→1となるのでしょうか？でもなんだかおかしいような気がします。でもなにがおかしいのかわかりません。

そもそもsinx＝ｔと置換すること自体が間違いなのでしょうか？それとも、sinx=tと置換するのも間違いではないが、その場合は、・・・その場合は範囲はどうなりますか？

よろしくお願いいたします。

回答No.1

totoro7683 · ベストアンサー

この問題に関してはcosx=tと置換したほうが
簡単だと思います。(cosx)'=-sinxから
dt=-sinxdx が成り立つからです。
ただしsinx=tと置換することは間違いではありません。
定積分の置換においてはｘとｔは
１対１対応していなければなりません。
ただし区間(0→π)においてsinxは単調ではないので１対１でないです。
区間を単調になるように分けてやる必要があるわけです。
区間(0→π/2)ではsinx は単調増加　
区間(π/2→π)ではsinx は単調減少
上の２区間においては１対１
だから２区間に分けて
∫（(0→π/2)＋∫（(π/2→π)
を計算すればいいのです。
ただし複雑でお勧めできません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
最初からsinxで置換すればうまくいくことがわかっていれば、そうするのですが、cosｘで置換した後にきづくと、少々ならこのままいけるとこまでいこう、と頑固になってしまい、途中でやはりだめだ。。。とくじけてしまいます。

区間が単調でないといけない、というところが、今回は大変勉強になりました。確かに０からπでsinxは増加して減少しますので、単調ではないですね。

やはりcosxで置換するのが正攻法ですね。
貴重なアドバイスありがとうございました。

回答No.3

nakaizu

cos x=t と置いた方が楽ですが、 sin x=tと置いていけないわけではありません。ただし厄介な問題があります。
微分して
cos x dx=dt
dx=dt/(cos x)
となりますが、ここで0<x<π/2 ならばcos x=√(1-sin^2 x)=√(1-t^2)
ですが
π/2<x<π のときにはcos x は負なのでcos x=-√(1-t^2)となります。
つまりxの範囲によって tの積分の中味が違ってくるので一つの積分では表わせません。
よってxが0→π/2の積分(tだと0→1の積分)とxがπ/2→πの積分(tだと1→0の積分)に分けて計算しないといけません。
積分の中味が同じならばtで0→1と１→0の積分を足すと0になり0から0への積分である0と同じですが、この場合は中味が異る(符合が違う)のでそのようにはなりません。
第一象限以外での三角関数の置換には充分な注意が必要で、避けた方が無難です。グラフの対称性などを活用して下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます。
私もsinxでの置換にこだわるわけではないのですが、置換する際にはどちらが計算上有利かわからなくて、途中までしてからあれ？と気づくのでついついめんどくさくなってしまいます。

sinxで置換する場合は積分区間を分割しないといけないのですね。やはり最初にもどってcosxで置換したほうが、結局早そうですし、間違いも少なそうですね。

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

Willyt

sinx=t とおくと　cosx・dx= dt となり、
をsinx/(2-(cosx^2)dx を tばかりの函数にできなくなってしまいますね。ところが cosx = t とおくと -sinx・dx =dt となり、ちょうど分母に sinx がいてくれるので　与式=-dt/(2-t^2) となってくれますよね。

この問題はそれを狙ったものだと思いますよ。

お礼

ご回答ありがとうございます。
最初からsinxでうまくいくことがわかっていればいいのですがね。