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定積分
∫[1→2](sinπx)＾2dx この問題なんですが、置換積分を用いて t=πxとおいて dx=dt/π tの範囲は[π→2π] ∴∫[π→2π](1/π)(sint)＾2dt ＝(1/π)∫[π→2π](sint)＾2dt ＝(1/π)[(1/3cost)(sint)＾3][π→2π] ＝０ ってなったんですが答えは1/2でした。 どうすればいいでしょうか？
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- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
すみません。 いちばん下の式は、ａを書かずに ∫[1→2](sinπx)＾2dx ＝ ∫[1→2]（１－cos(2πx)）／２・dx と書くべきでした。
- sanori
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こんにちは。 sin(a±b) = sina・cosb ± sinb・cosa （※１） cos(a±b) = cosa・cosb 干 sina・sinb （※２） っていうの習いませんでしたか？ （加法定理って言います。） cos(a+b) = cosa・cosb - sina・sinb ここで a=b とすると、 cos(2a) = (cosa)^2 - (sina)^2 ・・・（あ） ところが、三平方の定理により (sina)^2 + (cosa)^2 = 1 （※３） より、 (cosa)^2 = 1- (sina)^2 これを（あ）に代入すると、 cos(2a) ＝ １ － ２(sina)^2 よって、 (sina)^2 ＝ （１ － cos(2a)）／２ （※４） 以上で準備が終わりました。 ∫[1→2](sinπx)＾2dx ＝ ∫[1→2]（１－cos(2a)）／２・dx あとはできますね？ ※１～※３ の公式は最低限暗記しましょう。 ※４も覚えるに越したことはないですが、私はいつも上のように※１～※３の式から導出しています。
- debut
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(sint)^2の積分は(1/3cost)(sint)＾3ではないです。 ためしに微分してみてください。 何かと何かがごっちゃになってしまっているのかも。 (sint)^2=(1-cos2t)/2と次数下げしてから積分します。
- koko_u_
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>どうすればいいでしょうか？ 計算まちがいです。(sin t)^2 の不定積分を考えなおしましょう。
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