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定積分

∫[1→2](sinπx)^2dx この問題なんですが、置換積分を用いて t=πxとおいて dx=dt/π tの範囲は[π→2π] ∴∫[π→2π](1/π)(sint)^2dt =(1/π)∫[π→2π](sint)^2dt =(1/π)[(1/3cost)(sint)^3][π→2π] =0 ってなったんですが答えは1/2でした。 どうすればいいでしょうか?

noname#53834

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  • 回答No.4
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

すみません。 いちばん下の式は、aを書かずに ∫[1→2](sinπx)^2dx = ∫[1→2](1-cos(2πx))/2・dx と書くべきでした。

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  • 回答No.3
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

こんにちは。 sin(a±b) = sina・cosb ± sinb・cosa (※1) cos(a±b) = cosa・cosb 干 sina・sinb (※2) っていうの習いませんでしたか? (加法定理って言います。) cos(a+b) = cosa・cosb - sina・sinb ここで a=b とすると、 cos(2a) = (cosa)^2 - (sina)^2 ・・・(あ) ところが、三平方の定理により (sina)^2 + (cosa)^2 = 1 (※3) より、 (cosa)^2 = 1- (sina)^2 これを(あ)に代入すると、 cos(2a) = 1 - 2(sina)^2 よって、 (sina)^2 = (1 - cos(2a))/2 (※4) 以上で準備が終わりました。 ∫[1→2](sinπx)^2dx = ∫[1→2](1-cos(2a))/2・dx あとはできますね? ※1~※3 の公式は最低限暗記しましょう。 ※4も覚えるに越したことはないですが、私はいつも上のように※1~※3の式から導出しています。

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  • 回答No.2
  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)

(sint)^2の積分は(1/3cost)(sint)^3ではないです。 ためしに微分してみてください。 何かと何かがごっちゃになってしまっているのかも。 (sint)^2=(1-cos2t)/2と次数下げしてから積分します。

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  • 回答No.1
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

>どうすればいいでしょうか? 計算まちがいです。(sin t)^2 の不定積分を考えなおしましょう。

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