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自分の置換積分の間違いを教えて下さい

置換積分で遊んでいる内に、置換積分で積分した時と通常の方法で積分した時に答えが異なるケースがありました。 こんな事はありえないと思うので、自分の考えが間違っていると思うのですが、どこが間違っているのか分かりません。 済みませんが、皆さんのお知恵をお貸しください。 問題のケースはx^4です(置換積分する必要性は全くありませんが、思考実験として)。 ・通常の積分 ∫(x^4)dx=(1/5)*(x^5)+C ・置換積分の場合 t=x^2とする。 dt/dx=2x dx=(1/2x)dt ∫(x^4)dx =∫t^2*(1/2x)dt =(1/3)t^3*(1/2x)+C =(x^2)^3/6x+C =(1/6)*x^5+C 係数が、通常の積分の場合は1/5に、置換積分の場合は1/6になってしまいました。 どこが間違っているのでしょうか?

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x= t^(1/2) とおく. t^2*(1/2x) = 1/2*t^(3/2)

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質問者からのお礼

∫t^2*(1/2x)dt =(1/2)∫t^(2-1/2)dt =(1/2)∫t^(3/2)dt =(1/2)*(2/5)t^(5/2) =(1/5)*(x^5) 間違いが分かりました! ありがとうございます。 自分が見ていた例題は、全てt'が整数になるもの(t=2x+1等)か、積分前にxが相殺されるものばかりだったので、勘違いしてしまったようです。

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  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

∫t^2*(1/2x)dt なんで x が残ってる?

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回答ありがとうございます。

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