積分計算

質問

積分の計算をしたのですが
解答と違うのでどこが違うか指摘をお願いします

問題

∫dx/√（（ｘ－１）^2-1)　　（範囲は２から４）・・(1)

解答では
(1)＝log|x-1+√（ｘ（ｘ－２））|
となるので
log|x-1+√（ｘ（ｘ－２））|＝log(3+2√２)

そして自分の回答
x-1=1/costとおいて
ｔの範囲が０からα（ただしcosα＝1/3 sinα=2√2/3）
dx=(tant/cost)dt
（ｘ－１）^2-1=(1/cos^2t)-1=tan^2t
よって
∫(1/tant)(tant/cost)dt=∫(1/cost)dt=∫(cost/(1-sin^2t))dt
ここで
sint=uとして
uの範囲が０から2√2/3
du=costdt
∫(1/1-u^2)du=1/2∫(1/1+u^2)+(1/1-u^2)du
=1/2log(1+u)(1-u)
=1/2log1/9
となってしまします

よろしくお願いします

回答No.2

pascal3141 · ベストアンサー

惜しかったです。
∫(1/1-u^2)du=1/2∫(1/1+u^2)+(1/1-u^2)du
=1/2log(1+u)(1-u)
=1/2log1/9
の部分が違います。
∫(1/1-u^2)du=1/2∫(1/1+u)+(1/1-u)du
=1/2log{(1+u)/(1-u)}
=1/2log{(1+2√2/3)/(1-2√2/3)}
=1/2log{(3+2√2)/(3-2√2)}
=1/2log(3+2√2)^2
=log(3+2√2)

お礼

ありがとうございます

回答No.4

nious

#1ですが、積分する区間の変換が変ですよ。

x=2～4だから、cos(α)=1/3として、t=0～αになります。するとsin(t)=uとおけば、
∫[t=0～α]dt/cos(t)=(1/2)*log|(1+u)/(1-u)|_[u=0～2√2/3]=log(3+2√2)

お礼

ありがとうございます

回答No.3

endlessriver

(1/2)∫{(1/1+u)+(1/1-u)}duの後半で-uを見逃しています。
つまり∫(1/1-u)du=-log|1-u|

お礼

ありがとうございます

回答No.1

nious

その置換よりも、x-1=cosh(t)とおいた方がかなり楽だと思いますよ。

cosh(t)={e^t+e^(-t)}/2、sinh(t)={e^t-e^(-t)}/2
cosh^2(t)-sinh^2(t)=1、{cosh(t)}'=sinh(t) です。

質問の答えになっていませんね、失礼しました。