積分計算

質問

以下の積分計算、間違っているのですが、どこで間違っているのかご指摘お願いいたします。

∫{(sin x)^3・cos x }dx

cos x = t　とおくと、 -sin x ・ dx = dt

よって、与式は
∫-(sin x)^2 ・ t ・ dt
= ∫ (t^2 - 1)t・dt
= 1/4 (t^4 - 2t^2)
= 1/4 (cos x)^2 {(cos x)^2 -2}

回答No.3

notnot · ベストアンサー

No1です。

＞しかし、規定解答は
＞1/4(sin x)^4 +C
＞であり、私の提示した回答は変形しても((sin x)^4 -1) + C です。

変形すると、
1/4 (cos x)^2 {(cos x)^2 -2} +C1 = 1/4( (sin x)^4 -1)+ C1 = 1/4 (sin x)^4 + C2
になると思いますが。C1 C2(=C1-1/4)は積分定数。
これが違うと思うと言うことは、積分定数の意味が理解できていないのでは？

お礼

定数項のずれは積分定数で吸収、で合ってますか。
なっとくできました。ありがとうございました。

回答No.2

ferien

＞∫{(sin x)^3・cos x }dx
sinｘ＝ｔと置いた方が、無理がないように思います。
cosｘｄｘ＝ｄｔより、

∫{(sin x)^3・cos x }dx
＝∫ｔ^3ｄｔ
＝(1/4)ｔ^4＋Ｃ
＝(1/4)（sinｘ）^4＋Ｃ

どうでしょうか？

回答No.1

notnot

合ってると思います。不定積分なので積分定数を足すだけ。

補足

ありがとうございます。
しかし、規定解答は
1/4(sin x)^4 +C
であり、私の提示した回答は変形しても((sin x)^4 -1) + C です。
Cがあるとはいえ、同じ式を変形して違う答えになるのはおかしいと思いますが…