ある積分計算の違和感について質問です。

質問

ある積分計算の違和感について質問です。

【問題】
関数sin(x)cos(x)を区間[-π,π]で定積分した値を求めよ。
Int_[-π,π]{sin(x)cos(x)}dx

以上の計算について、次の置換積分による計算は数学的に正しいでしょうか？
積分区間が0になってしまうところに違和感がありますが、
正しく導けている？？？
数学的に何が起きているのでしょうか？

【解答】
t=sin(x)とおく。
このとき、dt = cos(x)より sin(x)cos(x)dx = t dt
また，x : -π → π のとき t : 0 → 0
したがって、
Int_[-π,π]{sin(x)cos(x)}dx
=Int_[0,0]{t}dt
=0

sin(x)cos(x)が奇関数であることや、２倍各の公式sin(x)cos(x)=sin(2x)/2を利用した方法でも答えは０であることはあってるのですが…。

よろしくお願いします。

回答No.2

zero_samu · ベストアンサー

高校生かな？
置換積文でやっていることは「式の同値変換」
言い換えると「（見た目は違うが）言ってることは同じ」
さらに言うと（元の式）→（置換積文で計算した式）を作った際に
（置換積文で計算した式）→（元の式）が導けること。

これが言えるためには置換する関数が逆関数を持つ（全てのaにおいてf(x)=aとなるxが一つだけ）
ように関数を選ばなくてはいけません。
sin(x)は周期関数ですのでsin(x)=1となるようなxは無数にあります。
この為sin(x)=tと置いた際に（基本的に）x=[-π/2、π/2]と範囲を限定します。
（但し書きがあればx=[π/2、3π/2]などどの様にとっても構いません）
（この範囲を決めるのはと逆関数が取れるようにするためです）
同様にcos(x)=tと置いた場合はx=[0、π]、tan(x)=tと置いた場合はx=[-π/2、π/2]

この場合積分区間が[-π、π]となっているので
[-π、-π/2]+[-π/2、π/2]+[π/2、π]と積分区間を分けてsin(x)で置換するか
[-π、0]+[0、π]としてcos(x)で置換すれば問題ありまん。

お礼

なるほど、『逆に戻せるか』が大事なんですね！
目からうろこです（鱗△鱗!!）

私は社会人なのですが最近数学を勉強しなおしています。
高校生のときには気にも留めなかったために、
たくさん見過ごしてるんですね。

回答No.4

ibm_111

置換積分の証明には逆関数は登場しないので、
質問者さんのやり方で問題ないと思うのですが、
いかがでしょうか？
あまり自信はありませんが。

お礼

回答ありがとうございます。

どうやら、やはり逆変換が可能でないと置換積分は使えないようです。
ご支援ありがとうございました＾＾

回答No.3

koko_u_u

>置換積分が成立することの証明というものがあるのですか？

当然です。証明もせずに使ってはいけません。

お礼

厳密な理論は奥が深いんですね。
時間を見つけて、専門書等で勉強してみようと思います。

ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_u

>次の置換積分による計算は数学的に正しいでしょうか？

正しくないです。

>数学的に何が起きているのでしょうか？

置換積分が成立することを証明したことはありますか？

お礼

No2さんの回答にあるように、置換積分のときには注意が必要なんですね。

置換積分が成立することの証明というものがあるのですか？