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初歩の三角関数積分について

高校数学をやり直している者です。 y=sin^2(x)の積分は、倍角の公式を用いて、 sin^2(x)=(1-cos(2x))/2として進めるのが定番となっていますが、 y=t^2, t=sin(x)とした置換積分の手法では、正答と結果が違います。 y=t^2, t=sin(x) Y=∫t^2 dx, dx=(1/cos(x))dt Y=(1/cos(x))∫t^2 dt Y=(1/cos(x))*(t^3/3) Y=(1/cos(x))*(sin^3(x)/3) この置換積分のどこがいけないのでしょうか?

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みんなの回答

  • 回答No.2
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

>この置換積分のどこがいけないのでしょうか? 「積分変数xを全てtに置換していない」で, 「1/cos(x)を定数として扱った」ことです。 「」の2つの間違いをおかしたことが正答の結果と一致しない原因です。 t=sin(x)の置換積分をする場合は以下のようにやらないとダメです。 y=t^2, t=sin(x) (|x|≦π/2,|t|≦1)で置換積分すると |x|≦π/2よりcos(x)≧0なので dt=cos(x)dx=√(1-sin^2(x))dx=√(1-t^2)dx dx=dt/√(1-t^2) であるから Y=∫t^2 dt/√(1-t^2) となります。 この積分はむつかしいですが計算すると Y=(1/2){arcsin(t)-t√(1-t^2)} +C となり、元の変数xに戻すと Y=(1/2){x-sin(x)cos(x)} +C =(1/2){x-(1/2)sin(2x)} +C =(1/4){2x-sin(2x)} +C と正答の結果になるかと思います。 やはり、倍角の公式を使った方が簡単に積分できます。

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質問者からのお礼

ご丁寧なご説明ありがとうございました。 ご指摘の「2つの間違い」こそが私が知りたかったことです。

  • 回答No.1
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

y=t^2, t=sin(x) Y=∫t^2 dx, dx=(1/cos(x))dt >Y=(1/cos(x))∫t^2 dt >Y=(1/cos(x))*(t^3/3) >Y=(1/cos(x))*(sin^3(x)/3) cos(x)もtで置換しなければならないと思います。 cos(x)=√(1-t^2)とか。 でもうまく積分できないので、2倍角の公式を使うべきだと思います。

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質問者からのお礼

早速のご教示ありがとうございました。 info22様のご説明と合わせて、今しがた理解いたしました。

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