初歩の三角関数積分について

質問

高校数学をやり直している者です。
y=sin^2(x)の積分は、倍角の公式を用いて、
sin^2(x)=(1-cos(2x))/2として進めるのが定番となっていますが、
y=t^2, t=sin(x)とした置換積分の手法では、正答と結果が違います。

y=t^2, t=sin(x)
Y=∫t^2 dx, dx=(1/cos(x))dt
Y=(1/cos(x))∫t^2 dt
Y=(1/cos(x))*(t^3/3)
Y=(1/cos(x))*(sin^3(x)/3)

この置換積分のどこがいけないのでしょうか？

回答No.2

info22_

>この置換積分のどこがいけないのでしょうか？
「積分変数xを全てtに置換していない」で,
「1/cos(x)を定数として扱った」ことです。
「」の2つの間違いをおかしたことが正答の結果と一致しない原因です。

t=sin(x)の置換積分をする場合は以下のようにやらないとダメです。

y=t^2, t=sin(x) (|x|≦π/2,|t|≦1)で置換積分すると
|x|≦π/2よりcos(x)≧0なので
dt=cos(x)dx=√(1-sin^2(x))dx=√(1-t^2)dx
dx=dt/√(1-t^2)
であるから
Y=∫t^2 dt/√(1-t^2)
となります。

この積分はむつかしいですが計算すると
Y=(1/2){arcsin(t)-t√(1-t^2)} +C
となり、元の変数xに戻すと
Y=(1/2){x-sin(x)cos(x)} +C
=(1/2){x-(1/2)sin(2x)} +C
=(1/4){2x-sin(2x)} +C
と正答の結果になるかと思います。

やはり、倍角の公式を使った方が簡単に積分できます。

お礼

ご丁寧なご説明ありがとうございました。
ご指摘の「２つの間違い」こそが私が知りたかったことです。

回答No.1

ferien

y=t^2, t=sin(x)
Y=∫t^2 dx, dx=(1/cos(x))dt
＞Y=(1/cos(x))∫t^2 dt
＞Y=(1/cos(x))*(t^3/3)
＞Y=(1/cos(x))*(sin^3(x)/3)

cos（ｘ）もｔで置換しなければならないと思います。
cos（ｘ）＝√（１－ｔ^2）とか。
でもうまく積分できないので、２倍角の公式を使うべきだと思います。

お礼

早速のご教示ありがとうございました。
info22様のご説明と合わせて、今しがた理解いたしました。