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三角関数の積分

1/三角関数 の積分は必ずできると聞いたのですが、本当でしょうか。 例えば 1/sinx です。 ∫1/sinxdx を試してみたのですが、うまくできませんでした。 ∫sinx/sin^2xdx とし、 ∫sinx/(1-cos^2x)dx  cosx=tとおく。 dx = -1/sinx 与式 = -∫1/(1-t^2)dt = -(1/2)∫{(1/1+t)+(1/1-t)}dt = log|sinx| + C となりました。 しかし、これを微分しても与式になりません。 どこか間違っているのでしょうか。 答えでは、log|tan1/2| となっていたと思います。 あと、 ∫1/cosxdx と ∫1/tanxdx も答えだけでも良いので教えていただきたいです。

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  • 回答No.3
noname#57316

このような関数を積分するとき良く使われるのが tan(x/2)への置換です。 つまり、z=tan(x/2)と置くと dz=dx/[2・{cos(x/2)}^2] dx=dz・2・{cos(x/2)}^2 sin(x)は、 sin(x)=2・sin(x/2)・cos(x/2) =2・{sin(x/2)/cos(x/2)}・{cos(x/2)}^2 =2z・{cos(x/2)}^2 ∴dx/sin(x) =dz・[2・{cos(x/2)}^2]/[2z・{cos(x/2)}^2] =dz/z 故に、∫dx/sin(x)=∫dz/z=ln|z| =ln|tan(x/2)| このように変換すると、同じようにして ∫1/cosxdx、∫1/tanxdx も簡単に積分できます。 

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  • proto
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>-(1/2)∫{(1/1+t)+(1/1-t)}dt = log|sinx| + C どういう計算でこの結果になったのか補足してもらいたいですね。  -(1/2)∫{(1/1+t)+(1/1-t)}dt = -(1/2){log|1+t|-log|1-t|}+C        = -(1/2)log|(1+t)/(1-t)|+ C        = (1/2)log|(1-t)/(1+t)|+C        = (1/2)log|(1-sinx)/(1+sinx)|+C では?

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  • 回答No.1

>∫1/tanxdx も答えだけでも良いので教えていただきたい これは簡単でしょう。 ∫1/tanxdx=∫sinx/cosxdx=log|sinx|+C 説明も必要ないぐらいだと思います。 (どうしてもというなら置換積分してください。) 1/sinx=1/2sin(x/2)cos(x/2)=sin(x/2)/2cos(x/2)+cos(x/2)/2sin(x/2) から ∫1/sinxdx=∫sin(x/2)/2cos(x/2)+cos(x/2)/2sin(x/2)=log|sin(x/2)|-log|cos(x/2)| =log|tan(x/2)| (積分定数省略) 同様に 1/cosx=1/{cos(x/2)-sin(x/2)}{cos(x/2)+sin(x/2)} ={cos(x/2)+sin(x/2)}/2{cos(x/2)-sin(x/2)}+{cos(x/2)-sin(x/2)}/2{cos(x/2)+sin(x/2)} から log|cos(x/2)+sin(x/2)| - log|cos(x/2)-sin(x/2)|

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