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三角関数の積分計算ですが…
∫sin^2(x)dx の積分計算をしたいのですが、半角（２倍角）の公式を使わずに、という制限つきでした。 t=tan(x) とおいて、sin^2(x)=t^2/(1+t^2) dx=dt/(1+t^2) という形にして解こうと思ったのですが、∫(t^2/(1+t^2)^2)dt となってっしまい解けませんでした。他にも sin^2(x)を(√1-cos^2(x))*sin(x) として、cos(x)で置換積分を試みましたが、 √(1-t^2)がでてくるため無理でした。どうすればうまくいきますか？ ちなみに必要かどうかはわかりませんが、積分区間は 0→2π でした。
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不定積分の形で書きますが、最初から定積分としても同様です。 部分積分により ∫sin^2(x)dx ＝ -sin(x) cos(x) + ∫cos^2(x)dx ＝ -sin(x) cos(x) + ∫(1 - sin^2(x))dx ゆえに 2∫sin^2(x)dx ＝ -sin(x) cos(x) + ∫1 dx ∫sin^2(x)dx ＝ -sin(x) cos(x)/2 + x/2 + C ここから0→2πの定積分を求めるのは容易です。
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- sunasearch
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以下、積分区間を省略して書くと、 ∫sin^2(x)dx ＝ ∫(1-cos^2(x))dx =2π - ∫cos^2(x)dx sin^2(x), cos^2(x)のグラフはともに周期2πで、 位相をπ/2ずらすと同じ形になるので、 ∫sin^2(x)dx ＝∫cos^2(x)dx よって、２∫sin^2(x)dx ＝ 2π となるから ∫sin^2(x)dx ＝ π
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早々にお答えいただき、ありがとうございます。 ∫sin^2(x)dx ＝∫cos^2(x)dx という考え方が出ませんでした。 そういえばそうでしたね。
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