ベストアンサー ※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：積分の計算） 積分の計算と要約文 2014/02/03 00:40 このQ&Aのポイント 積分の計算について質問があります与式の積分を求める方法について教えてくださいtanθ＝ｘを使って与式を復元する方法を教えてください 積分の計算 ∫１／√（ｘ＾２＋１）ｄｘをもとめよ。 ｘ＝tanθとおくと、ｄｘ＝ｄθ／cos^２θ 与式＝∫（ｄθ／cosθ）＝∫cosθ／（１－sin^2θ）ｄθ sinθ＝ｔとおくと、cosθｄθ＝ｄｔより、 与式＝∫ｄｔ／（１－ｔ＾２） ＝１／２（（１／１－ｔ）＋（１／１＋ｔ））ｄｔ ＝１／２（－logI１－ｔI＋logI１＋ｔI）＋Ｃ（絶対値） ＝１／２log｛(1+t)／（１－ｔ）｝＋Ｃ ＝１／２log｛（１＋sinθ）／（１－sinθ）｝＋Ｃ ＝１／２log｛(1+sinθ）＾２／cos^2θ｝＋Ｃ ＝log（1+sinθ／cosθ）＋Ｃ とやって、tanθ＝ｘを使って復元できなくなりました。 助けてください 質問の原文を閉じる 質問の原文を表示する みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー Tacosan ベストアンサー率23% (3656/15482) 2014/02/03 01:28 回答No.1 1+x^2=? 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 定積分 ∫［０～１］√（ｘ＾２＋１）ｄｘの値を求めよ。 次の解答を考えましたが、別の解答のほうがよいというのがあったら 教えてください。 x=tanθとおく。dx=1/(cosθ)^2dθ よって、与式＝∫［０～π／４］１／cosθｄθ ＝∫［０～π／４］cosθ／(cosθ)^2ｄθ ＝∫［０～π／４］cosθ／{1-(sinθ)^2}ｄθ sinθ=tとおく。sinθdθ=dt より ＝∫［０～1/√２］1／{1-t^2}ｄθ ・・・・・ このように考えましたが、よろしくお願いします。 式変形で分からないところがあります(積分) [ 問題 ] ∫(0→1) dx/√(x^2+1) [ 解答 ] x=tanθ とおく。 (与式)=∫(0→π/4) cosθ/(1-sinθ) dθ …(※) t=sinθとおく。 (※)=∫(0→1/√2) dt/1-t^2 =∫(0→1/√2) dt/(1+t)(1-t) =1/2∫(0→1/√2) {1/(1+t)+1/(1-t)}dt←ここから =1/2[log|1+t|-log|1-t|](0→1/√2)←ここまで … (答)…log(√2+1) という式変形なのですが、 「ここから～ここまで」のところで なにがおこっているかが よくわかりません(;_;) なぜlogの間がマイナスになってるのに 1-tのままなのか… なんかそこがポイントらしくて 赤で書かれています… おねがいします…(;_;)！！ 積分計算 以下の積分計算、間違っているのですが、どこで間違っているのかご指摘お願いいたします。 ∫{(sin x)^3・cos x }dx cos x = t とおくと、 -sin x ・ dx = dt よって、与式は ∫-(sin x)^2 ・ t ・ dt = ∫ (t^2 - 1)t・dt = 1/4 (t^4 - 2t^2) = 1/4 (cos x)^2 {(cos x)^2 -2} 積分計算 積分の計算をしたのですが 解答と違うのでどこが違うか指摘をお願いします 問題 ∫dx/√（（ｘ－１）^2-1) （範囲は２から４）・・(1) 解答では (1)＝log|x-1+√（ｘ（ｘ－２））| となるので log|x-1+√（ｘ（ｘ－２））|＝log(3+2√２) そして自分の回答 x-1=1/costとおいて ｔの範囲が０からα（ただしcosα＝1/3 sinα=2√2/3） dx=(tant/cost)dt （ｘ－１）^2-1=(1/cos^2t)-1=tan^2t よって ∫(1/tant)(tant/cost)dt=∫(1/cost)dt=∫(cost/(1-sin^2t))dt ここで sint=uとして uの範囲が０から2√2/3 du=costdt ∫(1/1-u^2)du=1/2∫(1/1+u^2)+(1/1-u^2)du =1/2log(1+u)(1-u) =1/2log1/9 となってしまします よろしくお願いします 不定積分 毎度すみません。参考書の積分の問題を解いているのですが、答えが不確かなもので質問させて頂きます。 ・∫tan^2x dx t = tanx と置くと 与式 = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} dt/dx = 1/cos^2x , dx = cos^2x dt 与式 = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} X cos^2x dt = ∫(tan^2x) 2tanx dt = 2∫t^3 dt = 2 X t^4/4 = tan^4x /2 ・∫1/(x^2 + 2x + 5) dx =∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) dx dt/dx = 2x + 2 dx = 1/(2x + 2) dt 与式 =∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) X 1/(2x + 2) dt =log|x^2 + 2x + 5| 一応自分で解いてみたのですが、誤った記述がありましたらご指摘頂けると有難いです。また、答えを導く際、他に簡単な方法等ありましたら、教えて頂けたら嬉しいです。 この不定積分の計算をおしえてください 1/(2+sin X) の不定積分の計算がわかりません。 ｔ＝tan X/2 を使うらしいんですが、どうしても答えが違うのでおしえてください。 まず sin X = 2t/(1+t^2) cos X =(1-t^2)/(1+t^2) であっていますか？ だとしたら dX/dt = 2/(1+t) ですよね？ しかし dX/dt =2/(1+t^2) になるらしいんです。 どこが違うのかおしえてください。 三角関数の積分 1/三角関数 の積分は必ずできると聞いたのですが、本当でしょうか。 例えば 1/sinx です。 ∫1/sinxdx を試してみたのですが、うまくできませんでした。 ∫sinx/sin^2xdx とし、 ∫sinx/(1-cos^2x)dx cosx=tとおく。 dx = -1/sinx 与式 = -∫1/(1-t^2)dt = -(1/2)∫{(1/1+t)+(1/1-t)}dt = log|sinx| + C となりました。 しかし、これを微分しても与式になりません。 どこか間違っているのでしょうか。 答えでは、log|tan1/2| となっていたと思います。 あと、 ∫1/cosxdx と ∫1/tanxdx も答えだけでも良いので教えていただきたいです。 積分の変形について ∫[0～π/4]x/(sin2x+2(cosx)^2) dx =∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx = (1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx +(1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx = (1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx …………(1) +(1/2)∫[π/4～0](π/4-t)/(sin(π/2-2t)+cos(π/2-2t)+1) (-dt) （t=π/4-xとおいた） = (1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx +(1/2)∫[0～π/4](π/4-x)/(sin2x+cos2x+1) dx …………(2) = (π/8)∫[0～π/4]1/(sin2x+cos2x+1) dx … (※) = (π/8)[log(tanx+1)/2][0～π/4] = πlog2/16 (1) から (2) の変形について教えてください。 t = π/4 - x とおけば x = π/4-t x = 0 → t = π/4, x = π/4 → t = 0. dt = -dx なので (1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx = -(1/2)∫[π/4～0](π/4-t)/(sin(π/2-2t)+cos(π/2-2t)+1) dt = (1/2)∫[0～π/4](π/4-t)/(sin(π/2-2t)+cos(π/2-2t)+1) dt まではわかるのですが、これを x に戻すのであれば -(1/2)∫[0～π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx になるのではないですか。 なぜ (1/2)∫[0～π/4](π/4-x)/(sin2x+cos2x+1) dx と変形できるのでしょうか。 積分のやり方について 下記の3問で解き方、考え方を教えてください。 (1) x=cos 2t, y=3sin t をx軸のまわりに回転してできる回転面の 面積 (0≦t≦π/2) (解答は49/4π) S=2π∫(0～π/2) y √((dx/dt)^2+(dy/dt)^2) dx で√内の処理がわかりません。 (2)曲線 x=tan t, y=sin t + 1 とx,y軸と直線x=1とで囲まれた図形の面積 (0≦t≦π/4) 解答は√2 S=∫(0～π/4) (sin t + 1)(tan t)' =∫(0～π/4) sin t + 1/(cos t)^2 ここから先で(cos t)^2を 変形したりしましたが答えがあわずに つまずいてます。 (3)∫(x^2- 2x + 3)/(x - 2)^3 dx 解答は log|x - 2| - (2/x - 2) - (3/2(x - 2)^2) 部分分数分解でやりましたがうまくできません。 積分の問題（曲線の長さ）です。 『曲線 y=x^2/2 (0≦x≦1) の長さを求めよ。』という問題です。 以下のように解いてみました。 曲線の長さをSとすると， S=∫√｛1+(dy/dx)^2｝dxなので， S=∫[0→1]√(1+x^2)dx x=tanθと置くと， S=∫[0→π/4](1/cos^3θ)dθ=∫[0→π/4]｛1/(1-sin^2θ)cosθ｝dθ さらにt=sinθと置くと， S=∫[0→1/√2]1/(1-t^2)^2dt=∫[0→1/√2]1/(1-t)^2・(1+t)^2dt =∫[0→1/√2]{1/2(1-t)^2+1/2(1+t)^2}dt=[1/2(1-t)-1/2(1+t)][0→1/√2] =√2 となったんですが添削をお願いします。 不定積分 ∫cos^2x/(1+sinx) dx という問題があるのですが模範解答は分子を1-sin^2と変形して 約分をし簡単な形に持っていく形式を取っています。私もこれは理解できます。 答え、x+cosx+C 私は違うやり方でやってみたのですが答えが合わずしかも納得がいかないという 悪循環になってしまいました。 下に私のやった方法を書くので間違いを指摘していただければと思います。 ∫cos^2x/(1+sinx) dx sinx=tとおくと cosxdx=dtだから与式は ∫cosx/(1+sinx) dt =∫t'/(1+t) dt =∫(t+1)'/(1+t) dt =log|t+1|+C =log(sin+1)+C お願いいたします 定積分の計算 以下の定積分の計算をしたのですが、自信がありません。 間違っていないか、ご指導お願いします。 (1) ∫{0→1} x(1-x) dx = ∫{0→1} (1/2)x^2 - (1/3)x^3 dx = ∫{0→1} (1/6)(3x^2 - x^3) dx = ∫{0→1} (1/6)x^2(3-x)dx = [(1/6)x^2(3-x)]{0→1} = [(1/6)・1・(3-1)]-[(1/6)・0・(3-0)] = (1/6) (2) ∫{0→(π/2)} cos x dx 公式 ∫cos x=sin x+Cより =[sin x]{0→(π/2)} =[sin (2/π)]-[sin 0]=1-0=1 (3) ∫{0→3} 3/(x^2+9) dx 公式 ∫1/(a^2+x^2) dx=(1/a)tan^(-1)(x/a)+Cより =∫{0→3} 3/(x^2+3^3) dx =[3・(1/3)tan^(-1)(x/3)]{0→3} =[3・(1/3)tan^(-1)(3/3)]-[3・(1/3)tan^(-1)(0/3)] =tan^(-1)(1)=arctan(1)=π/4 三角関数の積分計算ですが… ∫sin^2(x)dx の積分計算をしたいのですが、半角（２倍角）の公式を使わずに、という制限つきでした。 t=tan(x) とおいて、sin^2(x)=t^2/(1+t^2) dx=dt/(1+t^2) という形にして解こうと思ったのですが、∫(t^2/(1+t^2)^2)dt となってっしまい解けませんでした。他にも sin^2(x)を(√1-cos^2(x))*sin(x) として、cos(x)で置換積分を試みましたが、 √(1-t^2)がでてくるため無理でした。どうすればうまくいきますか？ ちなみに必要かどうかはわかりませんが、積分区間は 0→2π でした。 ∫xtan＾-1ｘdxの不定積分 ∫xtan＾-1ｘdxの不定積分の問題なんです。 以下のように解いて見たんですが ∫xtan＾-1ｘdxにおいて x=tan(t)とおく，dx=(1/cos^2t)dtとする時 ∫xtan＾-1ｘdx =∫{tan(t)/cos^2t}dt =-∫{t(cost)/cos^3t}dt =t/2cos^2t-1/2∫(1/cos^2t)dt =t/cos^2t-1/2tan(t)+C =1/2{(x^2+1)tan^-1x-x}+C と解いてみたんですが，途中式等あってますかね？ よろしくお願いします。 原始関数を求めよという問題で答えが合わなくて困っています "次の関数の原始関数を求めよ"という問題なのですが、答えが一致しなくて困っています。 計算ソフトを使ってみたりしましたが、よく分かりませんでした。 違っている箇所の指摘をおねがいします。 もしかすると積分定数の違いかもしれません。 教科書の解： (1) x+cos[x]/(sin[x]+1) (2) (4/√3)*Tan^(-1)[tan[x/2]/√3]+log[2+cos[x]] 自分の解： (1) sin[x]/(sin[x]+1) …＊ tan[x/2]=t とおくと dx=2cos^2[x/2]dt ∴∫＊ dx=∫(2t/(1+t^2) )/( (2t/(1+t^2) )+1 )*2/(t^2+1) dt =∫4t/(1+t)^2*(1+t^2) dt =∫-2/(1+t)^2 +2/(1+t^2) dt =2/(1+t) +2Tan^(-1)[t] =2/(1+tan[x/2])+x // (2) (2-sin[x])/(2+cos[x])…＊ tan[x/2]=t とおくと dx=2cos^2[x/2]dt ∴∫＊ dx=∫{ (2-2t/(1+t^2)) / (2+(1-t^2)/(t^2+1)) }*2/(t^2+1)・dt =∫4*(t^2-t+1)/(t^2+3)(t^2+1)dt =∫2*{ t/(t^2+3)+2/(t^2+3)-1/(t^2+1) }・dt =∫2{ (1/2)*(t^2+3)'/(t^2+3)+(2/3)*(1/(t/√3)^2+1)-1/(t^2+1) }・dt =log[t^2+3]+(4/√3)*Tan^(-1)[t/√3]-2tan[t] =log[tan^2[x/2]+3]+(4/√3)*Tan^(-1)[tan[x/2]/√3]-x // よろしくおねがいします。 1/√(x^2+a^2) の積分について かなり考えたのですが1/√(x^2+a^2)の積分が うまくいかないので質問させてください。 参考書に載っているのは1/√(x^2+a^2)の原始関数は(xで積分)はlog｜x+√(x^2+a)｜ともうほぼ公式的に出ています。たしかに長い計算になるので覚えてしまったほうがよいうと思うのですが覚えるのには自分で導き出して納得してから覚えたいので自力で導き出そうと思ったのですが行き詰まってしまいました。私は以下のようにしました。 紛らわしいと思いますのでsin^2θ等は(sinθ)^2と記述しました。また1/√(x^2+a^2)でaでやるといろいろと読む方も疲れると思いますので「1」として計算していきます。よって計算結果がlog｜x+√(x^2+1)｜となるように目指します。 1/√(x^2+1) 先ずx=tanθとおくと ∫cosθ・(1/couθ)^2 dθ =∫1/cosθ dθ =∫cosθ/(cosθ)^2 dθ =∫cosθ/{1-(sinθ)^2} dθ さらにsinθ=tとおくとdt/dθ = cosθ より ∫1/(1-t^2) dt =1/2∫1/(1-t) + 1/(1+t) dt ={log｜(1+t)/(1-t)｜}^1/2 =log｜√(1+t)/√(1-t)｜ ここで打ち止めになってしまいました。t,θを元に戻しても公式のような形にはなりませんでした。 どなたかご存知のかたご教授ください。よろしくお願い致します。 不定積分…； ＜∫２－ｓｉｎⅹ／２＋ｃｏｓⅹ ｄｘ＝＞ が分かりません； ｔａｎ ⅹ／２＝ｔとおいて計算すると、 (与式)＝４∫ｔ2－ｔ＋１／(ｔ2＋３)(ｔ2＋１) ｄｔ になるまでは出来たのですが…。 どなたか、よろしくお願いします。 積分の問題 ∫log(1+x)/(1+x^2) dx (x;0～1までの定積分） 上の問題がわかりません。x=tanθと置き、 ∫log(1+tanθ)dθ (θ;0～π/4) とまではしてみたのですがここから先がどうしてもうまく解けません。 sinθ+cosθ=√2 sin(θ+π/4) , sin(π/2-θ)=cosθ を利用するらしいのですが、どのようにして解けばいいのでしょうか？ どなたかわかる方、教えていただけたら幸いです。 よろしくお願いします。 積分の証明 ∫{1/√(x^2+A)}dx = log|x+√(x^2+A)| の証明をしようとしています。 x=tanθと置いて、置換積分をすると、 ∫secθ dθ となりました。 ∫{cosθ/(1-(sinθ)^2)}dθ と変形して、t=sinθと置いて、置換積分をしたら、 1/2*log{(t+1)/(t-1)} になりました。 しかし、変数をtからxにできないで困っています。 どうか、アドバイスをお願いします。 積分の問題です。先ほども質問させてもらいましたが、 積分の問題です。先ほども質問させてもらいましたが、 自分なりに解いた答えと、皆さんの答えが違っていました。 どこが違うのか、考え方が違うのか教えてください。 ※パソコンでの書き方が慣れていないため、かっこの付け方や 途中式で見ずらいものがあると思います。お許しください。 次の定積分を求めよ。 (1)∫(0～π/2)sin^2xcos^3xdx =∫(0～π/2)sin^2(1-sin^2)cosxdx =∫(0～π/2)(sin^2-sin^4)cosxdx =∫(0～π/2)sin^2(cosx)-sin^4(cosx)dx =[(1/3)sin^3x-(1/5)sin^5x](0～π/2) =(1/3-1/5)-0 =2/15 (2)∫(0～1)xtan^-1xdx t=tan^-1xとおくとx:0→1のときt:0→π/4 x=tant dx=1/(cos^2t)dt ∫(0～1)xtan^-1xdx =∫(0～π/4)tant/cos^2tdt =∫(0～π/4)(sint/cost)(1/cos^2t)dt =∫(0～π/4)sint/cos^3tdt =∫(0～π/4)(cos^-3t)(sint)dt =[(1/2)cos^-2(t)](0～π/4) =(1/2)(1/(1/√2)^2)-(1/2)(1/(1^2) =1-(1/2)=1/2 と解きました。長くなりましたが、よろしくお願いします。
