不定積分

質問

∫cos^2x/(1+sinx) dx

という問題があるのですが模範解答は分子を1-sin^2と変形して
約分をし簡単な形に持っていく形式を取っています。私もこれは理解できます。
答え、x+cosx+C

私は違うやり方でやってみたのですが答えが合わずしかも納得がいかないという
悪循環になってしまいました。
下に私のやった方法を書くので間違いを指摘していただければと思います。

∫cos^2x/(1+sinx) dx

sinx=tとおくと
cosxdx=dtだから与式は

∫cosx/(1+sinx) dt
=∫t'/(1+t) dt
=∫(t+1)'/(1+t) dt
=log|t+1|+C
=log(sin+1)+C

お願いいたします

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

∫cosx/(1+sinx) dt = ∫cosx/(1+t) dt
まではＯＫです．
このあと
(1)　　cos x dt = t' dt
としたのが間違いのもとです．
ダッシュ(本当はプライムと呼ぶべきですが)の【’】は
x に関する微分なのか，t に関する微分なのかがごっちゃになっています．
(1)では x に関する微分のつもりでしょうが，
次の行の
(2)　　∫(t+1)'/(1+t) dt
に移るところでは t に関する微分と思ってしまっています．

回答No.4

eatern27

∫cosx/(1+sinx) dt
=∫t'/(1+t) dt
の部分が違います。
t'=1です。だから、cosxとは等しくありません。

(sinx)'=d/dx・sinx
t'=d/dt・t
よって、cosx=(sinx)'=d/dx・sinx≠d/dt・t=t'です。

置換積分の解き方
t=f(x)とおき、xで微分しdt=g(x)dxの形にする。
積分する関数をg(x)で割ったものをtのみの式で表す。t'はだめです
普通に積分する

回答No.2

rei00

私も上手く回答できないのですが，『∫t'/(1+t) dt』の t' や『∫(t+1)'/(1+t) dt』の (t+1)' は x での微分ですよね。つまり，「dt/dx」や「d(t+1)/dx」の事ですよね。

　この x での微分を t について積分している点が問題なんじゃないでしょうか？　つまり，『∫(t+1)'/(1+t) dt = log|t+1|+C』とならないのでは？

　いかがでしょうか？

回答No.1

toto9876

僕もうまく回答はできませんが、あなたはdx/dtを1/cosxとやっていますが、
これが違うのだと思います。教科書などで調べてみると分かると思います。
もしdx/dtをだしたいのであれば、x=sin^(-1)tと逆関数にしてから微分しなくては
いけなかったとおもうのですが・・・
説明が下手ですいません。