三角関数の置換積分

質問

1) ∫1 / (2 + sinx)dx
2) ∫1 / (2√2 + sinx + cosx)dx

この2問がわかりません。

1)は、t=tan(x/2)とおくと、
　sinx = 2t / (1 + t^2) 、 dx = 2 / (1 + t^2)dt
となり、これを代入して変形すると、
　∫1 / (t^2 + t + 1)dt
となるのですが、このあとどうすればいいのかわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

springside · ベストアンサー

1)
分母のt^2+t+1は、(t+1/2)^2+3/4と変形できますね。
そうした上で、t+1/2=uとでも置換すると、
　∫{1/(u^2+3/4)}du
となって、どこかでみたような形（公式を利用できる形）になりませんか。

回答No.3

springside

>>1)は解けたのですが2)はt=tan{(x+π/4)/2}とおくということですか？

1)の答えがF(x)だとすると、2)の答えは、{1/(√2)}F(x+π/4)になるということです。

お礼

解くことが出来ました。
ありがとうございました。

回答No.2

springside

#1です。

2)ですが、分母のsin(x)+cos(x)を(√2)sin(x+π/4)と変形すると、被積分関数は、
　1/(2√2 + sin(x) + cos(x))
=1/(√2)(2+sin(x+π/4))
={1/(√2)}{1/(2+sin(x+π/4))}

となって、1)の結果がそのまま使えますね。

補足

回答ありがとうございます。
1)は解けたのですが2)はt=tan{(x+π/4)/2}とおくということですか？