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積分

  • 質問No.4341840
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  • ありがとう数2
  • 回答数5
∫dx/(sinx+cosx)

この問題なんですが
tan(x/2)=tとおいて
cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
sinx=2t/(1+t^2)
dx=2dt/(1+t^2)
・・・・
とやるそうなんですが、cosxとsinxはどうやって
あんな形にするんでしょうか?

回答 (全5件)

  • 回答No.5

ベストアンサー率 60% (356/591)

もしかすると合成してから積分した方が多少楽かもしれませんね。

(1/√2)∫dx/{sin(x+(π/4))}=(1/√2)∫sin(x+(π/4)/{1-cos^2(x+(π/4))}
cos(x+(π/4))=tとおくと、
-(√2/4)*log|(1+t)/(1-t)|+C=(1/√2)*log|tan((x/2)+(π/8))|+C
  • 回答No.4

ベストアンサー率 30% (149/488)

こんなのは三角関数のところで習わなかった?
いろんな方法が考えられる。

sin(2x)=2cosx*sinx=(2cosx*sinx)/(cos^2x+sin^2x)=(2tanx)/(1+tan^2x)=2t/(1+t^2)。

cos(2x)=cos^2x-sin^2x=(cos^2x-sin^2x)/(cos^2x+sin^2x)=(1-tan^2x)/(1+tan^2x)=(1-t^2)/(1+t^2)。
お礼コメント
noname#68447
ありがとうございます
思い出しました
投稿日時:2008/09/20 15:04
  • 回答No.3

ベストアンサー率 38% (442/1154)

二点 (-1, 0), (0, t) を通る直線と
単位円との交点を (cos x, sin x) とし、
図を書いて幾何学的に求めます。
  • 回答No.2

ベストアンサー率 55% (2225/4034)

以下のようにすれば変形できます。

sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2)
=2sin(x/2)/cos(x/2)*cos^2(x/2)
公式1+tan^2(A)=1/cos^2(A)を使って
=2tan(x/2)/{1+tan^2(x/2)}
=2t/(1+t^2)

cos(x)=cos(x/2)cos(x/2)-sin(x/2)sin(x/2)
=cos^2(x/2)-sin^2(x/2)
={1-sin^2(x/2)/cos^2(x/2)}*cos^2(x/2)
公式1+tan^2(A)=1/cos^2(A)を使って
={1-tan^2(x/2)}/{1+tan^2(x/2)}
=(1-t^2)/(1+t^2)
  • 回答No.1

ベストアンサー率 40% (34/83)

倍角使って、tanxをtで表せば、cosxとsinxもtで表せます。
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