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積分

∫dx/(sinx+cosx) この問題なんですが tan(x/2)=tとおいて cosx=(1-t^2)/(1+t^2) sinx=2t/(1+t^2) dx=2dt/(1+t^2) ・・・・ とやるそうなんですが、cosxとsinxはどうやって あんな形にするんでしょうか?

noname#68447
noname#68447

みんなの回答

  • nious
  • ベストアンサー率60% (372/610)
回答No.5

もしかすると合成してから積分した方が多少楽かもしれませんね。 (1/√2)∫dx/{sin(x+(π/4))}=(1/√2)∫sin(x+(π/4)/{1-cos^2(x+(π/4))} cos(x+(π/4))=tとおくと、 -(√2/4)*log|(1+t)/(1-t)|+C=(1/√2)*log|tan((x/2)+(π/8))|+C

  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)
回答No.4

こんなのは三角関数のところで習わなかった? いろんな方法が考えられる。 sin(2x)=2cosx*sinx=(2cosx*sinx)/(cos^2x+sin^2x)=(2tanx)/(1+tan^2x)=2t/(1+t^2)。 cos(2x)=cos^2x-sin^2x=(cos^2x-sin^2x)/(cos^2x+sin^2x)=(1-tan^2x)/(1+tan^2x)=(1-t^2)/(1+t^2)。

noname#68447
質問者

お礼

ありがとうございます 思い出しました

  • arrysthmia
  • ベストアンサー率38% (442/1154)
回答No.3

二点 (-1, 0), (0, t) を通る直線と 単位円との交点を (cos x, sin x) とし、 図を書いて幾何学的に求めます。

  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.2

以下のようにすれば変形できます。 sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2) =2sin(x/2)/cos(x/2)*cos^2(x/2) 公式1+tan^2(A)=1/cos^2(A)を使って =2tan(x/2)/{1+tan^2(x/2)} =2t/(1+t^2) cos(x)=cos(x/2)cos(x/2)-sin(x/2)sin(x/2) =cos^2(x/2)-sin^2(x/2) ={1-sin^2(x/2)/cos^2(x/2)}*cos^2(x/2) 公式1+tan^2(A)=1/cos^2(A)を使って ={1-tan^2(x/2)}/{1+tan^2(x/2)} =(1-t^2)/(1+t^2)

  • egarashi
  • ベストアンサー率40% (34/83)
回答No.1

倍角使って、tanxをtで表せば、cosxとsinxもtで表せます。

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