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不定積分

毎度すみません。参考書の積分の問題を解いているのですが、答えが不確かなもので質問させて頂きます。 ・∫tan^2x dx t = tanx と置くと 与式 = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} dt/dx = 1/cos^2x , dx = cos^2x dt 与式 = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} X cos^2x dt = ∫(tan^2x) 2tanx dt = 2∫t^3 dt = 2 X t^4/4 = tan^4x /2 ・∫1/(x^2 + 2x + 5) dx =∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) dx dt/dx = 2x + 2 dx = 1/(2x + 2) dt 与式 =∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) X 1/(2x + 2) dt =log|x^2 + 2x + 5| 一応自分で解いてみたのですが、誤った記述がありましたらご指摘頂けると有難いです。また、答えを導く際、他に簡単な方法等ありましたら、教えて頂けたら嬉しいです。

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  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

微分してみればあってるかどうかわかるはずですが... っていうか, 両方とも間違ってます. だいたい, 与式 (∫tan^2x dx) = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} とか ∫1/(x^2 + 2x + 5) dx =∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) dx って一体どんな計算してるんでしょうか??? 上は... 簡単にやるなら 1 + tan^2 x = sec^2 x を使う. 下は分母が (x+1)^2+2^2 なので x+1 = 2 tan t とおいてみる.

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  • 回答No.2
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

(1)・∫tan^2x dx=Iと置く。 >t = tan(x) と置くと この置換は良い。ただし、xの範囲は |x|≦π/2 以降の計算は全然ダメ! x=arctan(t), dx=dt/(1+t^2) I=∫(t^2)/(1+t^2)dt=∫{1-1/(1+t^2)}dt =t-arctan(t)+C=arctan(x)-x+C(|x|≦π/2) (2)・∫1/(x^2 + 2x + 5) dx=Iと置く。 以降全然ダメ! I=∫1/{(x+1)^2+4} dx x+1=tに置換してdx=dt I=∫1/(t^2+4)dt t=2uと置換すると dt=2du I=(1/2)∫1/(u^2+1)du =(1/2)arctan(u)+C 後は、元の変数に戻しておくだけ。 置換積分法の演習問題を沢山やって、置換法をマスターしておくことが肝要ですね。

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