不定積分

質問

毎度すみません。参考書の積分の問題を解いているのですが、答えが不確かなもので質問させて頂きます。

・∫tan^2x dx
t = tanx と置くと
与式 = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)}
dt/dx = 1/cos^2x , dx = cos^2x dt
与式 = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} X cos^2x dt
= ∫(tan^2x) 2tanx dt
= 2∫t^3 dt
= 2 X t^4/4
= tan^4x /2

・∫1/(x^2 + 2x + 5) dx
=∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) dx
dt/dx = 2x + 2
dx = 1/(2x + 2) dt
与式 =∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) X 1/(2x + 2) dt
=log|x^2 + 2x + 5|

一応自分で解いてみたのですが、誤った記述がありましたらご指摘頂けると有難いです。また、答えを導く際、他に簡単な方法等ありましたら、教えて頂けたら嬉しいです。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

微分してみればあってるかどうかわかるはずですが... っていうか, 両方とも間違ってます. だいたい,
与式 (∫tan^2x dx) = ∫(tan^2x) { 2sinx/(cos^3x)} とか
∫1/(x^2 + 2x + 5) dx
=∫1/(x^2 + 2x + 5) X (2x + 2) dx
って一体どんな計算してるんでしょうか???
上は... 簡単にやるなら 1 + tan^2 x = sec^2 x を使う.
下は分母が (x+1)^2+2^2 なので x+1 = 2 tan t とおいてみる.

回答No.2

info22

(1)・∫tan^2x dx=Iと置く。
>t = tan(x) と置くと
この置換は良い。ただし、xの範囲は　|x|≦π/2
以降の計算は全然ダメ！
x=arctan(t), dx=dt/(1+t^2)
I=∫(t^2)/(1+t^2)dt=∫{1-1/(1+t^2)}dt
=t-arctan(t)+C=arctan(x)-x+C（|x|≦π/2）

(2)・∫1/(x^2 + 2x + 5) dx＝Iと置く。
以降全然ダメ！
I=∫1/{(x+1)^2+4} dx
x+1=tに置換してdx=dt
I=∫1/(t^2+4)dt
t=2uと置換すると　dt=2du
I=(1/2)∫1/(u^2+1)du
=(1/2)arctan(u)+C
後は、元の変数に戻しておくだけ。

置換積分法の演習問題を沢山やって、置換法をマスターしておくことが肝要ですね。