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積分の問題

  • 質問No.1491055
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1.sinx/(1+sinx) の問題でtan(x/2)=tを使って
sinx=2t/1+t^2 , dx=2dt/1+t^2
を代入して解くと思うんですが、どうしたらいいか分かりません。答えは一応載っていて x+{2/(tan(x/2)+1)}になります。

2.x^4/(x^3-1) の問題でx^4=(x-1)(x^2+x+1)にまずすると思うんですが、そこからがわかりません。しかも答えを見てもlogやtanが出てきていてどうしたのか分かりません。答えは
(1/2)x^2+(1/3)log|x-1|-(1/6)log(x^2+x+1)
+(1/√3)tan^(-1)(1/√3)(2x+1)
よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
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どちらも同じような所で躓いていると思われます。
2.はx^4/(x-1)(x^2+x+1)=x+1/3(x-1)+(-x+1)/3(x^2+x+1)と、部分分数分解をして、3つの項それぞれを積分します。1.も同じように部分分数分解できます。これでやってみてください。
補足コメント
Pin999

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x^4/(x-1)(x^2+x+1)=x+1/3(x-1)+(-x+1)/3(x^2+x+1)
この式がどうやって出てきたか分からないですけど...。初歩的なことだと思うんですけどすいません。
よろしくお願いします。
投稿日時:2005/07/04 16:00

その他の回答 (全3件)

  • 回答No.4

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これで最後です。K=∫(-x+1)/{3(x^2+x+1}}dxは、x=(√3×t-1)/2を代入して、k=-(1/3)∫{t/(t^2+1)}dt+(1/√3)∫{1/(t^2+1)}dtに成ります。ここからtan(θ/2)の出番です。
お礼コメント
Pin999

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何回もありがとうございました。大変助かりました。
投稿日時:2005/07/06 20:30
  • 回答No.3

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1.I=∫{sinx/(i+sinx)}dx=∫{4t/(1+t^2)(1+2t+t^2)}dt(上記の置き換えで)となり、Iを部分分数分解すれば、I=∫2/(1+t^2)dt-∫2/(1+2t+t^2)dtとなります。最初の項はx、後の項は2/{tan(x/2)+1}になりますよ。
補足コメント
Pin999

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遅くなってすみません。はじめに答えてもらった答えで(-x+1)/3(x^2+x+1)の積分がうまくいきません。tanはどのように使っているのでしょうか。
投稿日時:2005/07/06 17:11
  • 回答No.2

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#1の補足です。x^4/(x^3-1)=x+x/(x^3-1) ここで、x/(x^3-1)=x/(x-1)(x^2+x+1)=A/(x-1)+(Bx+C)/(x^2+x+1)とおいて、通分して、両辺の係数を比べれば、A=-B=C=1/3と成ります。よって、前記のような部分分数に分けられます。
補足コメント
Pin999

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1の問題の答えでxは出るんですが、{2/(tan(x/2)+1)}の項が出てきません。こちらも詳しく教えてください。
投稿日時:2005/07/04 17:44
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