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積分問題

A=∫[0→π/2](sin^3x)/(sinx+cosx)dx B=∫[0→π/2](cos^3x)/(sinx+cosx)dx (1)A+Bを計算せよ。 (2)AとBが等しいことを示せ。 (3)Aの値を求めよ。 (1)A+B=∫[0→π/2]{(sin^3x)+(cos^3x)}/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2](1+sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2][{1/(sinx+cosx)}+1]dx =∫[0→π/2][{1/√2sin(x+π/4)}+1]dx =[0→π/2][1/{√2log tan(x/2-π/8)}+1]dx =1/{√2log tan(π/8)} + π/2 - 1/{√2log tan(-π/8)} =(2/√2)log tan(π/8) + π/2 になったのですがこのような方法でよろしいのでしょうか? (2)に関しては、どのようにして行ってよいのかわかりません。 (3)もどうようにわかりません。 教えて頂けないでしょうか? よろしくお願い致します。

質問者が選んだベストアンサー

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  • info22
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回答No.7

#3,#4,#6です。 A#6の補足質問について >>=cos^3(t)/(cos(t)+cos(t)) >=cos^3(t)/(sin(t)+cos(t)) 指摘の通りです。 失礼しました。 =cos^3(t)/(cos(t)+sin(t)) と書く積りでの誤植です。

show-ten
質問者

お礼

回答ありがとうございました。 良い勉強になりました。

その他の回答 (6)

  • info22
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回答No.6

#3,#4です。 A#4の補足質問について >sinx=cos(π/2-x) これはいいですが この後はぜんぜん何をすればいいのか、分かって見えませんね。 >ここから > cos^3(x)=cos^3(π/2-x) > を求めるんですよね。 > どうすれば良いのでしょうか? すべき事は ■(sin^3x)/(sinx+cosx) この式にx=π/2-tと置換するした式 sin^3(π/2-t)/(sin(π/2-t)+cos(π/2-t)) =cos^3(t)/(cos(t)+cos(t)) になること。 ▲積分の上限と下限が [0→π/2]から[π/2→0] と入れ替わること及び ◆dx=-dtとなること。 これは、積分の上限と下限を入れ替える事で◆のマイナス符号が消えます。 ■と▲から A=∫[0→π/2] sin^3(x)/(sin x+cos x)dx =∫[0→π/2] cos^3(t)/(sin t+cos t)dt 積分変数tをxに変更すれば Bの式になります。 と示せばいいでしょう。 >(3)は(1)の答えの1/2ですよね。 ではなくてA#4に書いた (π-1)/2 です。 > よって○は4でよいのでしょうか? 4でOKですね。

show-ten
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 理解できました。 ちなみに >■(sin^3x)/(sinx+cosx) >この式にx=π/2-tと置換するした式 >sin^3(π/2-t)/(sin(π/2-t)+cos(π/2-t)) >=cos^3(t)/(cos(t)+cos(t)) =cos^3(t)/(sin(t)+cos(t)) ですよね? 詳しく説明して頂きありがとうございました。

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.5

(2) についてですが, sin^3(x)=cos^3(π/2-x) からなぜ「cos^3(x)=cos^3(π/2-x) を求める」とくるんでしょうか? #2 や #3 の「変数変換」の意味は理解できてますか?

show-ten
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 変数変換の意味を全然理解していません。 少し調べてみます。

  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.4

#3です。 積分範囲を間違えたケアレスミスです。 (1) > A+B=∫[0→π/2]{1+(1/2)sin(2x)}dx=π A+B=∫[0→π/2]{1+(1/2)sin(2x)}dx=(π/2)-(1/2) (2) は訂正なし。 (3) (3) > (1)より、A+B=π A+B=(π-1)/2 >A=B=π/○ A=B=(π-1)/○ >とでてきます。丸は何が入るか分かりますね。 ○の値は前と同じではありませんが分かりますか?

show-ten
質問者

お礼

回答ありがとうございました。 ちなみに(2)ですが・・・。 sinx=cos(π/2-x) ですよね。 そうすると sin^3(x)=cos^3(π/2-x) となります。 ここから cos^3(x)=cos^3(π/2-x) を求めるんですよね。 どうすれば良いのでしょうか? (3)は(1)の答えの1/2ですよね。 よって○は4でよいのでしょうか?

  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.3

(1)は sin^3x+cos^3x=(sinx+cosx)(sin^2x+cos^2x-sinx*cosx) =(sinx+cosx)(1-(1/2)sin(2x)) ですから A+B=∫[0→π/2]{1+(1/2)sin(2x)}dx=π (2) x=π/2-tと変数変換すればB=Aとなります。 (3) (1)より、A+B=π (2)より、A=B これを連立方程式として解けば A=B=π/○ とでてきます。丸は何が入るか分かりますね。

  • tono-todo
  • ベストアンサー率16% (169/1028)
回答No.2

(2)について 変数変換したら同じ積分になります。 z=π/2-x として片方を変換していくとどうですか?

show-ten
質問者

お礼

回答ありがとうございました。

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

(1) は, 多分 (sin^3 x + cos^3 x)/(sin x + cos x) の分子を因数分解する方が早いんじゃないかなぁ. a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2). (2): sin x と cos x の関係を思い出してください. sine に対して cosine の「co」の意味は? (3): (1) と (2) ができれば一瞬.

show-ten
質問者

お礼

回答ありがとうございました。

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