積分同士の等式の証明方法と解法
- 積分同士の等式の証明方法と解法をまとめました。
- ∫[0 π/2]sin^3x/(sinx+cosx)dx=∫[0 π/2]cos^3x/(sinx+cosx)dxの証明方法について解説します。
- 積分を利用して、∫[0 π/2]sin^3x/(sinx+cosx)dx-∫[0 π/2]cos^3x/(sinx+cosx)dx=0を導く方法を紹介します。
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積分同士の等式の証明です。
積分同士の等式の証明です。 ∫[0 π/2]sin^3x/(sinx+cosx)dx=∫[0 π/2]cos^3x/(sinx+cosx)dxの証明です。 解けましたが、無駄に長大になっている気がします。 スマートな方法を教えてください。 ∫[0 π/2]sin^3x/(sinx+cosx)dx-∫[0 π/2]cos^3x/(sinx+cosx)dx=0 a=sinx b=cosx (a^3-b^3)/(a+b)の分母をなんとかします。 {(a+b)^2(a-b)-ab(a-b)}/(a+b) ={(a+b)^2(a-b)(1-ab)}/(a+b) =(a+b)(a-b)(1-ab) =(a^2-b^2)(1-ab) =a^2-b^2-a^3b+ab^3 何とか微分できそうです。 ∫[0 π/2]sin^2x dx-∫[0 π/2]cos^2x dx-∫[0 π/2]sin^3x*cosx dx-∫[0 π/2]sinx*cos^3x dx = (π/4)-(π/4)-(1/4)+(1/4)=0∴等式である。 たぶん解けていると思いますが、もっと良いやり方を教えてください。 宜しくお願いします。
- izayoi168
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u=π/2-x を用いると積分の左辺は ∫[0 π/2]sin^3x/(sinx+cosx)dx =∫[π/2 0]cos^3u/(sinu+cosu)(-du) =右辺 QED
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