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積分 問題

積分 問題 ∫(1/cos^3x)dxについて、テキストの回答が理解できません・・・ ∫(cosx/cos^4x)dx =∫(cosx/(1-sin^2x)^2) sinx=tとおいて ∫(1/(1-t^2)^2)dx =∫(1/((1-t^2)(1+t^2)))dx としているのですが、(1-t^2)^2=(1-t^2)(1+t^2) となる理由がわかりません。 ∫(1/((1-t^2)(1+t^2)))dx =∫1/4{(1/(1+t)^2)+(1/1+t)+(1/(1-t)^2)+(1/1-t)}dx と部分分数分解しているのですが、どのように行えば上記のように部分分数分解出来るのでしょうか? ご回答よろしくお願い致します。

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>sin x=t とおくと cos x dx=dt となるから cosx/(1-sin^2 x)^2 dx ={1/(1-sin^2 x)^2} cosx dx ={1/(1-t^2)^2}dt >∫(1/(1-t^2)^2)dx 間違い。 正:∫(1/(1-t^2)^2)dt > =∫(1/((1-t^2)(1+t^2)))dx 間違い。 正:∫(1/{(1-t)^2(1+t)^2}dt =(1/4)∫{(t+1)^(-1) +(t+1)^(-2) +(1-t)^(-1) +(t-1)^2] dt 部分分数展開は 1/(1-t^2)^2=a/(t+1) +b/(t+1)^2 +c/(t-1) +d/(t-1)^2 とおいて、両辺に(1-t^2)^2を掛けた式がtの恒等式になるように定数a,b,c,dの各次の係数を等しいとおいて、a,b,c,dの連立方程式を解けば、部分分数展開の分子のa,b,c,dが求められるだろう。

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その他の回答 (1)

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(1-t^2)^2=(1-t)^2(1+t)^2 です。

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