積分 問題 1/sinx について

質問

積分　問題 1/sinx　について

∫（1/sinx）dxについて。
∫（1/sinx）dx=∫（sinx/1-cos^2x）dxとする。
cosx=tの置換と部分分数分解を用いて、
1/2（log｜（1-t）/（1+t）｜）+C
まで求めました。
結果、1/2（log｜（1-cosx/(1+cosx)）｜）+Cとなると思います。

テキストの回答が、1/2（log（1-cosx/(1+cosx)））+C
と絶対値無しで記載されているのですが、絶対値は必要無いのでしょうか？
なぜ絶対値が外せるのでしょうか？

（logx）’はlog(-x)’と同じなのでlog｜x｜’としていると考えているのですが、
絶対値はあっても無くても良いのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>結果、1/2（log｜(1-cosx)/(1+cosx)｜）+Cとなると思います。
>テキストの回答が、1/2（log((1-cosx)/(1+cosx)）+C
と絶対値無しで記載されているのですが、絶対値は必要無いのでしょうか？
なぜ絶対値が外せるのでしょうか？

-1≦cos(x)≦1であり、対数の真数条件から　cos(x)≠1、
また、分母≠0　から cos(x)≠-1なので
-1<cos(x)<1となります。したがって
1-cos(x)>0　かつ　1+cos(x)>0　となるから
（1-cosx)/(1+cosx)>0
ゆえに、
(1/2)（log｜(1-cosx)/(1+cosx)｜）+C
=(1/2)log((1-cosx)/(1+cosx)）+C
と絶対値がはずせます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解出来ました。

回答No.4

OurSQL

>>（logx）’はlog(-x)’と同じなのでlog｜x｜’としていると考えているのですが、
log x の導関数と log ( － x ) の導関数は、確かに同じ式になりますが、変域が違います。
よって、「（logx）’はlog(-x)’と同じなので」という表現は、少し気になります。

それより前の部分で、

>>なぜ絶対値が外せるのでしょうか？
とありますが、それよりも、そもそも、なぜ絶対値が登場したのでしょうか。

不定積分の問題では、積分する区間が書かれていませんが、積分する区間が存在しないわけではありません。
この問題においては、積分可能な区間は大雑把に２種類に分けられます。
どちらの場合も、絶対値が不要なのは明らかです。

質問に対する回答には全然なっていないのですが、不定積分の定義を、もう一度確認してみることをお勧めします（原始関数と不定積分の違いも含めて）。
また、積分定数というものが持つ意味も、曖昧なままで終わらせないことが大事だと思います（特に、積分定数を任意定数と言い換えることの是非については、深く考えていただきたいです）。

回答No.3

alice_44

絶対値記号が有っても無くても、
積分定数が πi ずれるだけだから
じゃないですかね。
一般解としては、どちらでも同じですよ。

回答No.1

kabaokaba

-1 <= cos(x) < 1