部分積分？の問題を教えて下さい

質問

この積分の問題を教えて下さい。
(-πからπ)∫{(e^x)sinx}dx
(-πからπ)∫{(e^x)cosx}dx
を解けという問題です。

普通に部分積分したら
(-πからπ)∫{(e^x)sinx}dx=(-πからπ)∫{(e^x)cosx}dx
みたいになって上手くいきません・・。
何か別の方法があるのでしょうか？
お願いいたします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

２回部分積分すれば
I=∫[-πからπ] {(e^x)sinx}dx
=[(e^x)sinx][-πからπ] -∫[-πからπ] (e^x)cosx dx
=0-∫[-πからπ] (e^x)cosx dx
=-[(e^x)cosx] [-πからπ] +∫[-πからπ] (e^x)(-sinx) dx
=(e^π)-(e^(-π)) - I
2I=(e^π)-(e^(-π))
I={(e^π)-(e^(-π))}/2 ... (前半の答)

J=∫[-πからπ] {(e^x)cosx}dx
=[(e^x)cosx][-πからπ] -∫[-πからπ] (e^x)(-sinx) dx
=-(e^π)+(e^(-π))+∫[-πからπ] (e^x)sinx dx
=-(e^π)+(e^(-π))+ I
=-(e^π)+(e^(-π)) + {(e^π)-(e^(-π))}/2
={-(e^π)+(e^(-π))}/2 ... (後半の答)

お礼

有難うございます。
助かります。

回答No.2

bran111

I=(-πからπ)∫{(e^x)sinx}dx
J= (-πからπ)∫{(e^x)cosx}dx

K=iI+Jを作る。

K=(-πからπ)∫{(e^x)(cosx+isinx)}dx
=(-πからπ)∫{(e^x)(e^(ix)}dx
=(-πからπ)∫(e^((1+i)x)dx
=(-πからπ)[(e^((1+i)x))/(1+i)]
=[(e^((1+i)π)-e^(-(1+i)π)]/(1+i)

e^πi=e^(-πi)=-1, 1/(1+i)=(1-i)/[(1+i)(1-i)}=(1-i)/2
を用いて

K=(e^(-π)-e^π)(1-i)/2=iI+j
I=(-πからπ)∫{(e^x)sinx}dx=(e^π-e^(-π))/2
J= (-πからπ)∫{(e^x)cosx}dx=(e^(-π)-e^π)/2

これと次の質問は同じものですね。

お礼

助かりました。
ありがとうごいざいます。