ベストアンサー

積分区間

2014/02/04 18:14

積分区間（cosx=0) ∫（0～π／２）sinx/(sinx+cosx)dxを求めよ。という問題で、分母分子をcosxで割るという方針を思いついたのですが、積分区間は０≦ｘ≦π／２なのか、０＜ｘ＜π／２かで状況が変わるため、困っております。どちらでしょうか?

tjag
お礼率43% (282/650)

数学・算数
回答数2
ありがとう数0

みんなの回答 （2）
専門家の回答

質問者が選んだベストアンサー

ベストアンサー

noname2727
ベストアンサー率35% (40/112)

2014/02/04 19:34 回答No.2

方針としては分母を合成してx+π/４　＝　t とおいて計算するか tan(x/2)=t とおいて計算する方法が考えられます。

その他の回答 (1)

noname2727
ベストアンサー率35% (40/112)

2014/02/04 19:26 回答No.1

積分区間は０≦ｘ≦π／２ですね。

関連するQ&A

積分がわかりません

いくつかわからないので教えていただきたいです。∫は省略します。まずlog(1+√x)dxですが、t=√xと置換してdx=2tdtとなり 2tlog(1+t)dtとなります。しかしここからのやり方がわかりません。次にcos^3xsin^2xdxですが、部分積分を使ってやってみたのですがどうもうまくいきません・・・しかし部分積分を使うのは間違いなさそうなんです。次に(1/(x^3-x))dxですが、この式は1/x(1-x)(1+x)に変形できます。分母が２つの掛け算ならば部分分数にできるのですが３つの掛け算なのでどうしたらいいのかわかりません。次に(x/(x^3+1))dxですが、この式をx/(x+1)(x^2-x+1)と変形したあとのやり方がわかりません。最後に、これが一番聞きたいことなんですが (1/cosx)dxの積分です。分子分母にcosxを掛けてcosx/cos^2xとします。 sinx=tとおくと、dx=dt/cosxとなり、最初の式はdt/(1-t^2)になります。部分分数にして1/2∫(1/(1+t)+1/(1-t))dtになります。よって1/2(log|1+t|-log|1-t|)=1/2log|(1+sinx)/(1-sinx)|になりますよね？？でも、解答にはlog|(1+sinx)/cosx|って書いてあるんです。どこが間違ってるのかわかりません。以上長いですが教えていただけたら幸いです。
積分区間

積分区間(0→π)sinx/(2-(cosx^2))を積分する問題です。よろしくお願いいたします。解答はこれをcosx=tと置換しているのですが、私は、解答を見る前は自分では、sinx=tと置換しました。が、置換するときに置換範囲で困ってしまいました。というのもｘが(0→π)のとき、tの積分範囲は0→0になってしまったからです。でも、この場合ｘが(0→π)のときsinxは0≦sinx≦1と動くので、積分範囲は置換後0→1となるのでしょうか？でもなんだかおかしいような気がします。でもなにがおかしいのかわかりません。そもそもsinx＝ｔと置換すること自体が間違いなのでしょうか？それとも、sinx=tと置換するのも間違いではないが、その場合は、・・・その場合は範囲はどうなりますか？よろしくお願いいたします。
三角関数の積分について

∫1/(sinx)^3dx これを置換せずに積分することは可能でしょうか？似た形で、例えばチャートには ∫1/sinxdx これを置換積分を利用して解いていましたが、実際分母分子にsinxをかけた後分母の1-(cosx)^2を部分分数分解すると分かれた二項がともにf'(x)/f(x)の形になり、きれいに [1/2log(1-cosx)/(1+cosx)] とすることが出来ました。同様にして３乗でも出来ると思ったのですが途中で詰まってしまいます。３乗になるとまた話が別なのでしょうか？アドバイスお願いします！
定積分について

定積分について問題：∫(cosx)^6dx 　積分区間は0→2πです。 (cosx)^2が(1-sin^2x)であることなどを利用したり、他の式変形もしてみたのですが、うまくいきませんでした。方針はどういうものでしょうか？分かる方、お力を貸してください。宜しくお願いします。
不定積分　部分積分

∫(3x+2)sinx dx =∫{(sinx)×(3x+2)} dx =(-cosx)×(3x+2)-∫{(-cosx)×3}dx =-(3x+2)cosx-3∫-cosx dx =-(3x+2)cosx+3∫cosx dx =-(3x+2)cosx+3sinx or =(3x+2)(-cosx)-∫(3x+2)'(-cosx)dx =-(3x+2)cosx+3∫cosx dx =-(3x+2)cosx+3sinx この２つのやり方どちらで部分積分で解答した方がいいんですか？また、他の部分積分の時にはどちらのやりかたでやったほうがいいですか？
部分積分？の問題を教えて下さい

この積分の問題を教えて下さい。 (-πからπ)∫{(e^x)sinx}dx (-πからπ)∫{(e^x)cosx}dx を解けという問題です。普通に部分積分したら (-πからπ)∫{(e^x)sinx}dx=(-πからπ)∫{(e^x)cosx}dx みたいになって上手くいきません・・。何か別の方法があるのでしょうか？お願いいたします。
この積分の問題教えてください

この問題の答えが無いので教えてください。自分なりに解いたのですが、合ってるでしょうか？ ∫[0,π/2]　1 / sinx+cosx dx tan(x/2)=t　とおくと、 dx=2/(1+t^2) dt cosx=(1-t^2)/(1+t^2) sinx=2t/(1+t^2) となる。置換した後の積分範囲は、 x｜0→π/2 t｜0→ 1 ∫[0,π/2]　1 / sinx+cosx dx = -2∫[0,1]　1 / t^2-2t-1 dx 　　分母を平方完成して = -2∫[0,1]　1 / (t-1)^2-2 dx 　公式：∫[1 / x^2-a^2] = 1/2a log｜x-a/x+a｜なので =1/√2 log｜(-√2-1) / (√2-1)｜ logの中が汚いかんじで合ってるか不安です。教えてください。
指数関数×三角関数の積分

(e^x)×(cosx)の部分積分を解く問題なのですが、 I=∫(e^x)×(cosx)dx =(e^x)(cosx)+∫(e^x)(sinx)dx =(e^x)(cosx)+(e^x)(sinx)-∫(e^x)(cosx)dx ∴I=1/2(e^x)(cosx+sinx)+C と、模範解答に書いてあったのですが、 (e^x)(cosx)+(e^x)(sinx)-∫(e^x)(cosx)dxが1/2(e^x)(cosx+sinx)+Cになる、という所がいまいちわかりません。初歩的な質問で申し訳ないのですが、教えて頂けたら有り難いです。あと、似た問題で(e^x)(sinx)の積分を解く問題もあったのですが同じように1/2(e^x)(-cosx+sinx)+Cという形になったりするのでしょうか。
積分

微分方程式を解く過程で　C(x) = ∫(sinx)(cosx)*e^(sinx)dx を解くことになったのですが、これは解けるのでしょうか？　∫(cosx)e^(sinx)dx なら　=e^(sinx)　と解けるのですが。ちなみにそもそもの問題は　　y' + (cosx)y = (sinx )(cosx) で、定数変化法を使って解き、まず右辺＝0の解が　　y = Ce^(-sinx)　：Cは積分定数と求まったので、C=C(x)として最初の式に代入して今回質問した積分がでてきました。よろしくお願いします。
積分教えてください

∫（π /6～π/3 ）　{（sinx+cosx)/(sinx cosx)}dx の問題を部分積分で解くと計算が長くなりました。この問題は置換積分などで解けますか？どのように解くべきなのかが分かりません。解き方を教えてください。解説が詳しいとありがたいです。
いろいろな積分

（１）∫cosx^3/(sinx^(1/2)dx （２）∫x^2(2ax-x^2)^(1/2)dx （３）∫(logx)^4/xdx （４）∫(arcsinx)^4dx （５）∫1/(a^2sinx+b^2cosx)dx （６）∫(1-x^2)^ndx これらの問題を解く上で、解説をして欲しいです。（１）については、すべてsinにすればいいのでしょうか？糸口が見えません。（２）は部分積分がいいでしょうか。(2ax-x^2)^(1/2) これを積分？（３）(logx)^５を微分すると形が見えてきますね。（６）は部分積分のにおいがしますが、どうしたらいいのやらと。それで分かるのだけでも協力いただけたら幸いです。結局（３）以外ほとんど駄目なのです。
積分

こんばんは。次の積分の問題の解き方の流れがわかりません。 ∫(sin2x・cosx)dx まずsin2xを2sinx・cosxにして解いてみたのですがsinx^3が出てきて計算が複雑になったためか、答えが解答と一致しません。また、解答にはヒントとして、sin2xcosx=1/2(sin3x+sinx)が書いてあったのですが、これはどのようにして出されたのでしょうか？よろしくお願いします。
置換積分

tan(x/2)=uとして、 (1)I=∫1/(2+cosx) dx (2)I=∫1/(3sinx+4cosx+5) dx という問題がありまして・・・・教えていただけませんか？または置換積分を説明しているページでもいいので・・・・
積分同士の等式の証明です。

積分同士の等式の証明です。 ∫[0 π/2]sin^3x/(sinx+cosx)dx=∫[0 π/2]cos^3x/(sinx+cosx)dxの証明です。解けましたが、無駄に長大になっている気がします。スマートな方法を教えてください。 ∫[0 π/2]sin^3x/(sinx+cosx)dx-∫[0 π/2]cos^3x/(sinx+cosx)dx=0 a=sinx b=cosx (a^3-b^3)/(a+b)の分母をなんとかします。 {(a+b)^2(a-b)-ab(a-b)}/(a+b) ={(a+b)^2(a-b)(1-ab)}/(a+b) =(a+b)(a-b)(1-ab) =(a^2-b^2)(1-ab) =a^2-b^2-a^3b+ab^3 何とか微分できそうです。 ∫[0 π/2]sin^2x dx-∫[0 π/2]cos^2x dx-∫[0 π/2]sin^3x*cosx dx-∫[0 π/2]sinx*cos^3x dx = (π/4)-(π/4)-(1/4)+(1/4)=0∴等式である。たぶん解けていると思いますが、もっと良いやり方を教えてください。宜しくお願いします。
不定積分です。よろしくお願いします。

（sinx)^4dx の積分で、答えは 3/8x-3/16sin2x-1/4cosx(sinx)^3+cです。これは参考書の問題なんですが、解説が全くありません・・・。部分積分法の問題ですがどなたか是非この問題わかりやすく教えて下さい。数学は得意ではないので、くわしく書いていただけるとすごく助かります。よろしくお願いします。
微分積分

(1) ∫(sinx-cosx)^2 dx (2) ∫(1+logx)/x dx の積分と積分した答えを微分してもとに戻ることを教えてください。
広義積分について

次の広義積分が収束することを示せ (1)　∫[1,∞]cosx/x^2 dx (2)　∫[1,∞]sinx/x^1/2 dx
微積分

1.lim(logx/x^3) (x→∞) の極限を求めるにはどうすればいいんでしょうか？logxを微分して1/xを使うような気がするんですけど、どうしたらいいかわかりません。よろしくお願いします。 2.∫(1/(1+sinx+cosx))dx はどうしたらいいですか？分母を置き換えて解こうと思ってもどうしていいか分かりません。よろしくお願いします。
数III　定積分の問題

以下の定積分の問題が上手く問けません。 ∫{0→π/2}√(1＋sinx)dx というものなのですが、 1＋sinx=tとおいて置換積分をすると dx=dt/cosx となって、tとxが一緒に出てきてしまいってどうしたら良いか分からず、sinx=tとおいても同じような結果になってしまいました。 π/2－x=tとおいてもsinがcosに入れ替わっただけになってしまい、煮詰まってしまいました。ヒントや考え方の指針でも良いので教えて頂けると嬉しいです。
定積分を求めようとしています(2)

定積分を求めようとしています(2) S(π/2-0){1/(2+cosx)}dx (区間π/2-0における1/(2+cosxの定積分)を求めようとしています。計算してみたのですが、計算が間違っているのか、結果が発散します。 cosx=yとおくと -sinxdx=dyとなり、上の式は S{1/(2+y)}dy・1/(-sinx)と変形できます。これを計算すると log|2+cosx|・1/(-sinx)となるため、回答がlog2-1-log2-∞ となり、発散します。正しい計算の仕方と解をご教授願います。

積分区間

質問者が選んだベストアンサー

その他の回答 (1)

関連するQ&A

積分がわかりません

積分区間

三角関数の積分について

定積分について

不定積分　部分積分

部分積分？の問題を教えて下さい

この積分の問題教えてください

指数関数×三角関数の積分

積分

積分教えてください

いろいろな積分

積分

置換積分

積分同士の等式の証明です。

不定積分です。よろしくお願いします。

微分積分

広義積分について

微積分

数III　定積分の問題

定積分を求めようとしています(2)

注目のQ&A

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

積分区間

質問者が選んだベストアンサー

その他の回答 (1)

関連するQ&A

積分がわかりません

積分区間

三角関数の積分について

定積分について

不定積分 部分積分

部分積分？の問題を教えて下さい

この積分の問題教えてください

指数関数×三角関数の積分

積分

積分教えてください

いろいろな積分

積分

置換積分

積分同士の等式の証明です。

不定積分です。よろしくお願いします。

微分積分

広義積分について

微積分

数III 定積分の問題

定積分を求めようとしています(2)

注目のQ&A

カテゴリ 一覧

専門家に質問してみよう 専門家登録

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト

不定積分　部分積分

数III　定積分の問題

カテゴリ
一覧

専門家に質問してみよう
専門家登録