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三角関数の積分について
∫1/(sinx)^3dx これを置換せずに積分することは可能でしょうか? 似た形で、例えばチャートには ∫1/sinxdx これを置換積分を利用して解いていましたが、実際分母分子にsinxをかけた後分母の1-(cosx)^2を部分分数分解すると分かれた二項がともにf'(x)/f(x)の形になり、きれいに [1/2log(1-cosx)/(1+cosx)] とすることが出来ました。同様にして3乗でも出来ると思ったのですが途中で詰まってしまいます。3乗になるとまた話が別なのでしょうか?アドバイスお願いします!
- rockman9
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質問者が選んだベストアンサー
1/(1-t^2)^2={1/(1-t)^2+1/(1-t)+1/(1+t)^2+1/(1+t)}/4 を利用してください。 ∫f(g(x))g´(x)dx=F(g(x)) (Fはfの原始関数の1つ) を使えば,(形式的には)、積分を使わずに積分できそうですね。
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- nabla
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f'(x)/f(x)形の積分は公式として覚えておられるのかも知れませんが、これだって本来は置換積分を使って求めるべきものですよ。
お礼
もちろんそれを承知しての事です。実際f'(x)/f(x)を使う際にいちいち置換積分を使った証明はしませんしね。質問文が曖昧であったことをお詫びします。
- kony0
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同じ手法で出来ると思いますよ。 途中出てくる∫dy/(1-y^2)^2は、部分分数展開すればOKでしょう。
補足
すみません!どこから詰まるのかをしっかり書いておくべきでした... ∫sinx/(1-cos^2x)^2 これをどのように部分分数展開すればいよいのでしょうか?
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部分分数展開の仕方をまったく理解していませんでした! ありがとうございます!