- ベストアンサー
- すぐに回答を！
三角関数の積分
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
- 回答No.1
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
少し技巧的ですが以下のように積分できます。 =2∫{cos(x)+sin(x)}/{2+2cos(x)*sin(x)}dx =2∫{cos(x)+sin(x)}/{3-(cos(x)-sin(x))^2}dx =(1/√3)[∫{cos(x)+sin(x)}/{(√3)+sin(x)-cos(x)}dx +∫{cos(x)+sin(x)}/{(√3)-sin(x)+cos(x)}dx] (√3)+sin(x)-cos(x)>0,(√3)-sin(x)+cos(x)>0なので =(1/√3){ln((√3)+sin(x)-cos(x))-ln((√3)-sin(x)+cos(x))}+C =(1/√3)ln{((√3)+sin(x)-cos(x))/((√3)-sin(x)+cos(x))}+C
関連するQ&A
- 指数関数×三角関数の積分
(e^x)×(cosx)の部分積分を解く問題なのですが、 I=∫(e^x)×(cosx)dx =(e^x)(cosx)+∫(e^x)(sinx)dx =(e^x)(cosx)+(e^x)(sinx)-∫(e^x)(cosx)dx ∴I=1/2(e^x)(cosx+sinx)+C と、模範解答に書いてあったのですが、 (e^x)(cosx)+(e^x)(sinx)-∫(e^x)(cosx)dxが1/2(e^x)(cosx+sinx)+Cになる、という所がいまいちわかりません。 初歩的な質問で申し訳ないのですが、教えて頂けたら有り難いです。 あと、似た問題で(e^x)(sinx)の積分を解く問題もあったのですが同じように1/2(e^x)(-cosx+sinx)+Cという形になったりするのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の積分について
∫1/(sinx)^3dx これを置換せずに積分することは可能でしょうか？ 似た形で、例えばチャートには ∫1/sinxdx これを置換積分を利用して解いていましたが、実際分母分子にsinxをかけた後分母の1-(cosx)^2を部分分数分解すると分かれた二項がともにf'(x)/f(x)の形になり、きれいに [1/2log(1-cosx)/(1+cosx)] とすることが出来ました。同様にして３乗でも出来ると思ったのですが途中で詰まってしまいます。３乗になるとまた話が別なのでしょうか？アドバイスお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の積分
1/三角関数 の積分は必ずできると聞いたのですが、本当でしょうか。 例えば 1/sinx です。 ∫1/sinxdx を試してみたのですが、うまくできませんでした。 ∫sinx/sin^2xdx とし、 ∫sinx/(1-cos^2x)dx cosx=tとおく。 dx = -1/sinx 与式 = -∫1/(1-t^2)dt = -(1/2)∫{(1/1+t)+(1/1-t)}dt = log|sinx| + C となりました。 しかし、これを微分しても与式になりません。 どこか間違っているのでしょうか。 答えでは、log|tan1/2| となっていたと思います。 あと、 ∫1/cosxdx と ∫1/tanxdx も答えだけでも良いので教えていただきたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分 三角関数積分
(1)次の三角関数の積分がうまくできません。 ∫ (sinx・cosx(sinx+cosx)) dx (from 0 to π/2) 結果は分かるのですが、過程を教えて下さい。 (2)三角関数の積分がどうも苦手です(何度暗記しようとしても和積公式が覚えられなかったり、どう変形すればゴールになるのか検討がつかず、三角関数がそもそも苦手なのですが…) √(a-ax^2)→x=asinθとおく、など、有名な問題として背景を持っているようなものはストーリーで覚えられるのですが、「よく使うのでこれは定石」などというものがどうしても覚えられません。 何かコツのようなものがありますでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 不定積分 部分積分
∫(3x+2)sinx dx =∫{(sinx)×(3x+2)} dx =(-cosx)×(3x+2)-∫{(-cosx)×3}dx =-(3x+2)cosx-3∫-cosx dx =-(3x+2)cosx+3∫cosx dx =-(3x+2)cosx+3sinx or =(3x+2)(-cosx)-∫(3x+2)'(-cosx)dx =-(3x+2)cosx+3∫cosx dx =-(3x+2)cosx+3sinx この２つのやり方どちらで部分積分で解答した方がいいんですか？ また、他の部分積分の時にはどちらのやりかたでやったほうがいいですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
質問者からのお礼
=2∫{cos(x)+sin(x)}/{2+2cos(x)*sin(x)}dx =2∫{cos(x)+sin(x)}/{3-(cos(x)-sin(x))^2}dx には気づきませんでした… よく理解できました。ありがとうございます。