三角関数の積分

質問

不定積分なのですが、

∫(cosx+sinx)/(1+cosx*sinx)dx
が解けません！教えてください。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

少し技巧的ですが以下のように積分できます。

=2∫{cos(x)+sin(x)}/{2+2cos(x)*sin(x)}dx
=2∫{cos(x)+sin(x)}/{3-(cos(x)-sin(x))^2}dx
=(1/√3)[∫{cos(x)+sin(x)}/{(√3)+sin(x)-cos(x)}dx
+∫{cos(x)+sin(x)}/{(√3)-sin(x)+cos(x)}dx]

(√3)+sin(x)-cos(x)>0,(√3)-sin(x)+cos(x)>0なので

=(1/√3){ln((√3)+sin(x)-cos(x))-ln((√3)-sin(x)+cos(x))}+C
=(1/√3)ln{((√3)+sin(x)-cos(x))/((√3)-sin(x)+cos(x))}+C

お礼

=2∫{cos(x)+sin(x)}/{2+2cos(x)*sin(x)}dx
=2∫{cos(x)+sin(x)}/{3-(cos(x)-sin(x))^2}dx
には気づきませんでした…
よく理解できました。ありがとうございます。