積分の問題

質問

Cosxの二乗かけるSinxの二乗の積分
∫(cosx)^2(sinx)^2dx
の答えとやり方を教えてください！

試験がせまっています・・
至急おねがいします！！！

回答No.6

info22

#1,#3,#5です。
ミスがありましたので訂正しておきます。
A#1の補足の質問に関連して
>∫x^2√(1-x^2)dxという問題で
> x=sintとおいてやりました。
√内≧0より
|x|≦1,-π/2≦t≦π/2
cos(t)≧0…(■)
dx=cos(t)dt なので
I=∫(sin(t))^2√(1-(sin(t))^2)cos(t)dt
=∫(sin(t))^2*|cos(t)|*cos(t)dt
>=∫(cos(t))^2*(sin(t))^2dt (■より)
ここでA#1の変形からA#3,A#5の式にいきますが

>I=(1/8)∫[cos(t)-cos(4t)cos(t)dt …(●)
この式はミスでdx=cos(t)dtのcos(t)をダブっていますのでcos(t)を
削除してください。
I=(1/8)∫{1-cos(4t)}dt
以降 A#5の続きの式はcos(t)を削除訂正した影響がありますので
差し替えてください。
I=(1/8){t-(1/4)sin(4t)}+C
sin(4t)=2cos(2t)sin(2t)=4[{cos(t)}^2-{sin(t)}^2]sin(t)cos(t)
=4(1-x^2-x^2)x√(1-x^2)
t=arcsin(x)
なので
I=(1/8)arcsin(x)-(1/8)(1-x^2-x^2)x√(1-x^2)+C
となります。

A#3,A#5の(●)の式のcos(t)のミスの影響で計算がおかしくなり失礼しました。

なお、質問の問題とは切り離して
>I=(1/8)∫[cos(t)-cos(4t)cos(t)dt …(●)
の計算自身は正しいですから、この計算の練習問題としてでも活用してください。

お礼

応答が遅れてすみません・・
いつも丁寧なご説明ありがとうございます！！
解決できました・・！
時間をさいて回答して頂き感謝しています。
本当にありがとうございます！
これで試験に挑んでいきたいと思います♪

回答No.5

info22

#1,#3です。
待っていましたが、応答もなく、今日は零時をまわり遅くなますので
続きの計算を書いておきます。

I=(1/8)∫[cos(t)-cos(4t)cos(t)dt
=(1/8)∫cos(t)dt-(1/16)∫{cos(5t)+cos(3t)}dt
=(1/8)sin(t)-(1/16){(1/5)sin(5t)+(1/3)sin(3t)}+C
=(1/8)sin(t)-(1/48)sin(3t)-(1/80)sin(5t)+C

x=sin(t),(cos(t))^2=1-x^2
sin(3t)=3sin(t)-4(sin(t))^3=3x-4x^3
sin(5t)=5(sin(t))^5-10(cos(t))^2*(sin(t))^3+5(cos(t))^4*sin(t)
=5x^5-10(1-x^2)x^3+5(1-x^2)^2*x
=20*x^5-20x^3+5x

以上を積分の式に代入して式を整理
I=-x^5/4+x^3/3+x/8+C

回答No.4

arrysthmia

＞ 変数x,tの変域を1対1に対応するように常に考えてください。

ダウト。

置換積分において、
変数の変域が一対一対応でなければならないという制限はありません。
公式を使うときは、適用できるための条件を、常に意識しましょう。

参考： http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_5/chikan.html

お礼

参考資料ありがとうございます！
勉強して参考にしたいと思います！

回答No.3

info22

#1です。
>x=sintとおいてやりました。
おく時は、
変数x,tの変域を1対1に対応するように常に考えてください。
√内は
1-x^2≧ですから
-1≦x≦1
ですから
-π/2≦t≦π/2
と対応させます。
こういったことを意識しながら積分したり、不定積分後に変数をもとに
戻すことをします。
x=sintと置くと
> 1/4(sinx)^2になるんで
なぜ、↑すぐ不注意なミスをするのですか？

> 1/4(1/2-cos4x/2)にして
> 1/2(1/4-cos4x)
なぜ、↑すぐ不注意なミスをするのですか？
式の意味を考えて変形していますか？

∫{(1/8)-(1/8)cos(4t)}*cos(t)dt
=(1/8)∫[cos(t)-cos(4t)cos(t)dt

cos(4t)cos(t)を積和公式で
cos()+cos()
の形に変形してから積分して下さい。
積分後
x=tan(t),
t=arctan(x)
(-π/2≦t≦π/2、-1≦x≦1)
で元の変数xに戻す。

後はご自分の努力でやるようにして下さい。
で変数をtからxに戻してください。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます！
チェックしてみます！

回答No.2

owata-www

＃１さんではありませんが…

＞1/4(sinx)^2になるんで
1/4(1/2-cos4x/2)にして
1/2(1/4-cos4x)にすればいいんですか？
違います

1/4(1/2-cos4x/2)≠1/2(1/4-cos4x)です。
1/4(1/2-cos4x/2)＝1/8*(1-cos4x)として後は積分してください

お礼

説明ありがとうございます！
はい、やってみます！

回答No.1

info22

ここのサイトのルールは、自分の分かる範囲での解答を書いて質問しないと問題の丸投げは禁止行為とされ削除対象となります。それに丸解答することも禁止行為となっています。
なので、補足に質問者さんの努力の後の解答への取組みの途中計算式を書いて、行き詰まったところだけ質問するか、解答をとにかく作成してチェック依頼をして下さい。

ヒントだけ
cosxsinx=(1/2)sin(2x)
(sin(2x))^2=(1/2)-cos(4x)/2
などを使い定数とcos(4x)だけの積分に変形すればいいでしょう。

お礼

わかりました！
1/4(sinx)^2になるんで
1/4(1/2-cos4x/2)にして
1/2(1/4-cos4x)にすればいいんですか？
それで積分をとけばいいんですよね！？

補足

ヒントありがとうございます！
取り組みですよね・・
実際この問題が違う問題で計算していった結果
この式にたどりつき、そこから行き詰ってしまった次第です・・
その場合はどうすればいいのでしょうか・・？
最初の式が多分置換積分をするもので、
∫x^2√(1-x^2)dxという問題で
x=sintとおいてやりました。
そうしたらこの質問にかいた形の式になったので
そこだけ書きました。
で、ここで詰まってしまってる状態です・・
ヒントをいただいたので、それを試そうとおもうのですが
やっぱりわかりません・・