置換積分の問題なんですが・・・

質問

置換積分の問題で、わからないものがあります。
詳しく教えてください。

∫1/(1+sinx*cosx)dx

よろしくお願いします！

回答No.2

info22_

丸投げなのでヒントだけ。

ヒント）
tan(x)=(t(√3)-1)/2 と置換積分、
sin(x)*cos(x)=tan(x)/(1+(tan(x))^2)= ...
...

その後
t=tan(u)と置換積分してみて下さい。

結果は
(2/√3)u +C
=(2/√3)*arctan({2tan(x)+1}/√3) +C
となるかと。

とりあえず、自力でやってみて下さい。
分からなければ、
途中計算を補足に書いて、行き詰った所について質問して下さい。

回答No.1

debut

分母、分子をcos^2xで割ると、
1/(1+sinxcosx)=(1/cos^2x)/{(1/cos^2x)+(sinx/cosx)}となり
1/cos^2x=1+tan^2xだから、また、tanx=tとおけばdx/cos^2x=dt
なので、
∫1/(t^2+t+1)dtとなります。分母を(t+1/2)^2+3/4として
1/(x^2+a^2)=(1/a)arctan(x/a)の公式？から
(2/√3)arctan{(t+1/2)/(√3/2)}
戻して
(2/√3)arctan{(2tanx+1)/√3}＋Ｃ　　Ｃは積分定数
のようになりました。